Peržiūrėti šaltinį Aibė

{{kiti}}
'''Aibė''' – rinkinys kokių nors objektų, sujungtų į vienumą pagal kurį nors požymį.<ref>{{vle|aibe|2023-11-07|aibė}}</ref> Aibės sąvoka yra viena pagrindinių sąvokų [[matematika|matematikoje]]. Elementariojoje matematikoje nagrinėjamos skaičių aibės: '''N''' - [[Natūralusis skaičius|natūraliųjų skaičių]] aibė, '''Z''' - [[Sveikasis skaičius|sveikųjų skaičių]] aibė, '''Q''' - [[Racionalusis skaičius|racionaliųjų skaičių]] aibė, '''R''' - [[Realusis skaičius|realiųjų skaičių]] aibė.<ref>Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 18 p. ISBN 9986-13-416-1</ref>

'''Aibių teorija''', atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

{{vikižodynas|aibė|no=T}}
== Terminai ==
Aibės objektai vadinami '''elementais''' ar ''nariais''. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (''A'', ''B'', ''C'', ..). Dvi aibės yra lygios (''A'' = ''B''), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kurios turi pasikartojančių elementų vadinamos '''multiaibėmis'''.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:
:''A'' = {1, 2, 3}
:''B'' = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų vadinamos lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t. y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama [[Tuščia aibė|tuščia aibe]] ir žymima ø.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, [[sveikieji skaičiai|sveikųjų skaičių]] aibė.

=== Poaibis ===
{{Main|Poaibis}}
[[Vaizdas:Venn A subset B.png|thumb|160px|Poaibis (''A''<math>\subset </math>''B'')]]
Jei kiekvienas aibės ''A'' elementas yra ir aibės ''B'' elementas, aibė ''A'' yra aibės ''B'' '''poaibis''' ir tai žymima <math>A \subseteq B</math>. 

Jei tenkinama sąlyga, kad aibė ''A'' nelygi ''B (''tačiau, kai kurie aibės B elementai sutampa su aibės A elementais), tai '''griežtasis poaibis''' ir žymima <math>A \subset B</math>. Šiuo atveju ''B'' yra aibės ''A'' '''viršaibis'''.

Pavyzdžiai:
* Visų vyrų aibė yra griežtas <math>( \subset )</math> visų žmonių aibės poaibis
* <math>{\{1, 3\}} \subset  {\{1, 2, 3, 4\}}</math>
* <math>{\{1, 2, 3, 4\}} \subseteq  {\{4, 3, 2, 1\}}</math>

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:
:*<math>\emptyset \subset A</math>
:*<math>A \subseteq A</math>

=== Sąjunga ===
[[Vaizdas:Set union.png|thumb|160px|Aibių sąjunga (''A''∪''B'')]]
Aibių '''sąjunga''' tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių ''A'' ir ''B'' sąjunga žymima ''A''&nbsp;∪&nbsp;''B''.

Pavyzdžiai:
:*{1, 2}&nbsp;∪&nbsp;{raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
:*{1, 2, žalia}&nbsp;∪&nbsp;{raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
:*{1, 2}&nbsp;∪&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės: 
:*''A''&nbsp;∪&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''B''&nbsp;∪&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;&nbsp;<math>\subset </math>&nbsp;&nbsp;''A''&nbsp;∪&nbsp;''B''
:*''A''&nbsp;∪&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∪&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''

=== Sankirta ===
[[Vaizdas:Set intersection.png|thumb|160px|Aibių sankirta (''A''∩''B'')]]
Aibių ''A'' ir ''B'' '''sankirta''' yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek ''A'', tiek ir ''B'' aibėje. Sankirta žymima ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''. Jei ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;ø, tai ''A'' ir ''B'' yra '''nesikertančios''' aibės.

Pavyzdžiai:
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{raudona, raudona} = ø
:*{1, 2, žalia}&nbsp;∩&nbsp;{raudona, raudona, žalia} = {žalia}
:*{1, 2}&nbsp;∩&nbsp;{1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''B''&nbsp;∩&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\subset </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;''A''
:*''A''&nbsp;∩&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;ø

=== Skirtumas ===
[[Vaizdas:Set difference2.svg|thumb|160px|Aibių skirtumas (''A''\''B'')]]
Aibių ''A'' ir ''B'' '''skirtumas''' yra aibė, kurią sudaro elementai, esantys aibėje ''A'', bet nesantys aibėje ''B''. Aibių skirtumas žymimas ''A''&nbsp;
[[Kategorija:Aibių teorija]]
\&nbsp;''B''.

== Šaltiniai ==
{{Išnašos}}

{{Commons|Set theory|no=T}}