Peržiūrėti šaltinį Daugdara

{{Šaltiniai+}}
[[Image:BoysSurfaceTopView.PNG|thumb|Realioji projekcinė plokštuma yra dvimatė daugdara, kurios neįmanoma atvaizduoti trimatėje erdvėje taip, kad ji nekirstų pati savęs (čia pavaizduota kaip Boy paviršius).]]
[[File:Polar stereographic projections.jpg|thumb|right|Kad būtų atvaizduoti visi Žemės paviršiaus taškai, reikia (mažiausiai) dviejų žemėlapių. Čia atlikta [[Žemė|Žemės rutulio]] dekompozicija į du žemėlapius, kurių centras atitinkamai yra šiaurės ir pietų [[ašigalis]].]]
[[Vaizdas:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|Ant daugdaros (pavyzdžiui, [[sfera|sferos]]) nubrėžto didelio [[trikampis|trikampio]] vidinių kampų suma gali ir nebūti lygi 180 laipsnių (skirtingai nuo trikampio euklidinėje erdvėje). Analogiško mažo trikampio kampų suma bus apytiksliai lygi 180 laipsnių, nes lokaliai daugdara atrodo kaip euklidinė erdvė.]]

'''Daugdara''' – [[topologinė erdvė]], kurios kiekvieno taško aplinka yra artima [[Euklidinė erdvė|euklidinei erdvei]]<ref>{{cite book |author= Robert M. Wald |date=1984 |title=General Relativity |url= https://archive.org/details/generalrelativit00wald_552 |publisher=University of Chicago Press|page= 11 |isbn=0-226-87033-2}}</ref>.
Tiksliau tariant, kiekvienas ''n''-matės daugdaros taškas turi aplinką, [[Homeomorfizmas|homeomorfišką]] ''n''-matei euklidinei erdvei. [[Tiesė]] ir [[apskritimas]] yra vienmatė daugdara, bet aštuoniukė – ne. Dvimatės daugdaros labai dažnai vadinamos [[paviršius|paviršiais]]. Pastarųjų pavyzdžiai yra [[plokštuma]], [[sfera]], [[Toras (geometrija)|toras]]; visos šios trys daugdaros gali būti realios trimatės erdvės įdėtimis ({{en|embedding}}), bet kai kurios tokiomis būti negali: [[Kleino butelis]] ir realioji projekcinė plokštuma.

*Neformaliai, daugdara yra [kokia nors] erdvė, „sumodeliuota“ euklidinėje erdvėje.
*Formaliai, topologinė daugdara yra antroji skaičiuojamoji [[Hausdorfo erdvė]], lokaliai homeomorfiška euklidinei erdvei.

Nors kiekvieno daugdaros taško artimoji aplinka yra visiškai artima euklidinei erdvei, globaliu mastu taip nėra. Pavyzdžiui, visas sferos paviršius nėra euklidinė erdvė, bet atskiri jos regionai gali būti atvaizduoti euklidinėje plokštumoje (sakykime, žemėlapyje). Daugdaros kontekste tokia „projekcija“ vadinama ''atvaizdžiu''. Kai regionas pakliūva į du gretimus atvaizdžius, gaunamas jų vaizdas nebūna visiškai identiškas, todėl reikalinga tam tikra transformacija, susiejanti tuos pačius taškus, kuri vadinama ''perėjimo schema'' ({{en|transition map}}).

Daugdaros samprata užima svarbią vietą šiuolaikinėje [[Geometrija|geometrijoje]] ir [[Matematinė fizika|matematinėje fizikoje]], nes leidžia painias struktūras aprašyti sąlyginai gerai suprantamų euklidinės erdvės savybių parametrais. Daugdaros natūraliai randasi kaip sprendinių aibės, kai nagrinėjamos lygčių sistemos ir funkcijų grafai.

== Istorija ==
[[Neeuklidinė geometrija|Neeuklidinių]] erdvių tyrimų pradžia laikytinas 1733 m. paskelbtas ''Džiovanio Sakerio'' (Giovanni Girolamo Saccheri) darbas. Vėliau (jau po 100 metų) juos plėtojo [[Nikolajus Lobačevskis]] (Никола́й Ива́нович Лобаче́вский), [[Janošas Bojajus]] (János Bolyai) ir ''[[Bernhard Riemann|Bernhardas Rymanas]]''. Būtent Rymanas išplėtojo [[paviršius|paviršiaus]] sampratą ir apibendrino ją ''n''-matėms erdvėms. Jis pirmas panaudojo '''daugdaros'''<ref>daugdara – rus. многообразие; angl. manifold, variety (Matematikos terminų žodynas, Vilnius, 1994)</ref> sąvoką vokiškai – ''Mannigfaltigkeit'', kuri vėliau buvo išversta į anglų kalbą – ''manifold'', o prancūzų kalboje imta naudoti ''variété''. Rymanas daugdara (Mannigfaltigkeit) pavadino aibę visų įmanomų kintamojo reikšmių, nes kintamasis, paprastai tariant, gali įgauti daug reikšmių.

== Glodžios daugdaros ==
{{main|Analizinė daugdara}}
Topologinei daugdarai <math>M</math> be krašto, atvaizdis <math>\varphi</math> iš atviro poaibio <math>U \subset M</math> į atvirą <math>\mathbb{R}^n</math> aibę vadinamas ''homeomorfizmu''. Atvaizdžių aibė, dengianti visą <math>M</math> yra vadinama ''atlasu''.

Jei du atvaizdžiai <math>\varphi</math> ir <math>\psi</math> persikerta kuriame nors <math>M</math> taške, jų kompozicija <math>\varphi \circ \psi^{-1}</math> apibrėžia „perėjimo“ ({{En|transition}}) atvaizdį iš atviro <math>\mathbb{R}^n</math> poaibio į atvirą <math>\mathbb{R}^n</math> poaibį. Jei visi perėjimo atvaizdžiai yra <math>C^k</math> klasės (t. y. <math>k</math>-kartų tolygiai diferencijuojamos funkcijos), atlasas vadinamas <math>C^k</math> ''atlasu''.

== Išnašos ==
{{Išnašos}}

{{mat-stub}}


[[Kategorija:Topologija]]