Peržiūrėti šaltinį Deriniai

'''Deriniai''' [[Kombinatorika|kombinatorikoje]] – baigtinės objektų [[Aibė|aibės]], turinčios ''n'' elementų, junginius
iš ''k'' <math>(1 \leq k \leq n)</math> elementų. Jeigu elementai junginyje nesikartoja ir elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi, t. y., sukeitus elementus vietomis, gaunamas tas pats [[Junginiai|junginys]].

Derinių skaičius žymimas <math>C^{k}_{n}</math> ir randamas pagal formulę:

:<math>C^{k}_{n} = \frac {n(n - 1)(n-2)\cdot...\cdot(n - (k - 1))}{k!}= \frac {A^k_n}{P_k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},</math> kur <math>1 \leq k \leq n.</math>
:Pavyzdžiui:
:<math>C^{5}_{8} = \frac {8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5!}= \frac {8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=56,</math> 

Ši formulė dažniausiai taikoma kai k ir n nedideli skaičiai.

Derinių skaičių patogu rasti ir pagal kitą formulę:

<math>C^{k}_{n} = \frac {n!}{k!(n - k)!}</math>, kur ''n''! – skaičiaus ''n'' [[faktorialas]].

Nesunku įsitikinti, kad derinių skaičius lygus [[Gretiniai|gretinių]] iš ''n'' elementų po ''k'' elementų skaičiui padalintam iš [[Kėliniai|kėlinių]] skaičiaus:
<math>C^{k}_{n} = \frac {A^k_n}{P_k}</math>.

{| class="toccolours" width="100%" style="align: center;"
|-
|Pavyzdžiui, kiek skirtingų startinių penketukų galima sudaryti iš 10 krepšininkų, galima rasti pagal derinių formulę:

Čia ''n'' = 10, o ''k'' = 5, todėl iš viso galima sudaryti <math>C^{5}_{10} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252</math> skirtingų startinių penketukų.

Jeigu krepšininkus į startinį penketuką atrinksime kita tvarka, tai vis tiek gausime visiškai tą patį penketuką, todėl pavyzdyje aprašyti junginiai yra deriniai.
|}

Deriniams teisingos lygybės:
* <math>C^{k}_{n} = C^{n-k}_{n}</math>, kur <math>1 \leq k \leq n.</math>
* <math>C^{k}_{n} + C^{k+1}_{n} = C^{k+1}_{n+1}</math>
Pagal paskutiniąją lygybę (dar vadinama '''Paskalio taisykle''')<ref>Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 225 p. ISBN 5-430-03932-2</ref> yra sudaromas [[Paskalio trikampis]], kuris naudojamas gauti [[Dvinaris|dvinario]] <math>a + b</math> n-tojo laipsnio koeficientus.<ref>Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 148 p. ISBN 5-430-03617-X</ref>

== Šaltiniai ==
{{Išnašos}}

[[Kategorija:Kombinatorika]]