Peržiūrėti šaltinį Koši-Švarco nelygybė

'''Koši-Švarco nelygybė''' (arba '''''Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybė, CBS nelygybė''''') – [[Matematika|matematikoje]] viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių [[tiesinė algebra|tiesinėje algebroje]], [[matematinė analizė|analizėje]], [[tikimybių teorija|tikimybių teorijoje]], [[fizika|fizikoje]] ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – [[Holderio nelygybė]]. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.

Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė [[Augustin-Louis Cauchy|Augustinas Liuisas Koši]] (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė [[Viktoras Buniakovskis]] (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas [[Hermanas Amadėjus Švarcas|Hermano Amadėjaus Švarco]] (1888).

Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

== Nelygybės formuluotės ==

=== Vektorinė forma ===

''Teorema:'' Tegul <math> [x,y] </math> – tiesinės erdvės [[vektorius|vektorių]] skaliarinė sandauga, tai su vektoriais ''x'' ir ''y'', priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė: <br />

<math> [ x,x ]  [ y,y ] \geq |[ x,y ]| ^2  </math> <br />

be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai ''x'' ir ''y'' yra tiesiškai priklausomi.

=== Integralinė forma ===

''Teorema:'' Bet kokioms [[tolydi funkcija|tolydžioms]] ir integruojamoms intervale <math>[a,b]</math> [[Funkcija (matematika)|funkcijoms]] <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ir <math>g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> galioja nelygybė: <br />

<math> \int\limits_{a}^{b} \left ( f(x) \right)^2 dx \int\limits_{a}^{b} \left ( g(x) \right)^2 dx \geq \left ( \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) dx \right)^2 </math> <br />

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks <math>c\in\mathbb{R}</math>, kad <math>f(x)=cg(x)</math>.

=== Algebrinė forma ===

''Teorema:'' Tarkime <math> (x_n)_{n \geq 1} </math> ir <math> (y_n)_{n \geq 1} </math> yra realiųjų skaičių [[seka|sekos]], tuomet galioja nelygybė: <br />

<math> \left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 </math> <br />

Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai: <br />
<math> \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_n}{y_n}. </math>

== Algebrinės formos įrodymai ==

=== Lagranžo būdas ===

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus [[Joseph Louis Lagrange|Lagranžo]] tapatybe: <br />

<math> \left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) - \left (\sum_{i=1}^n y_i x_i \right)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left (x_iy_j - x_jy_i \right)^2 \geq 0 \Rightarrow </math> <br />

<math>\left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n x_i  y_i  \right)^2 \blacktriangle </math>

=== Kvadratinės lygties metodas ===
Tarkime <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> ir <math> (b_n)_{n \geq 1} </math> yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad [[kvadratinė funkcija]] <math> f(x)=\sum_{i=1}^n \left (a_ix-b_i \right)^2 </math> yra teigiama su bet kokiu <math>x\in\mathbb{R}</math>, taigi jos diskriminantas ''D'' turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi: <br />

<math> f(x)=\sum_{i=1}^n \left (a_ix-b_i \right)^2 = x^2\sum_{i=1}^n a_i^2 -2x\sum_{i=1}^n a_ib_i + \sum_{i=1}^n b_i^2 \geq 0 </math>, bei <math> D \leq 0 \Rightarrow </math> <br />

<math>D = 4\left (\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2  - 4\left (\sum_{i=1}^n a_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \leq 0 \Rightarrow </math> <br />

<math>\left (\sum_{i=1}^n a_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n a_i  b_i  \right)^2 \blacktriangle </math>

=== AM – GM metodas ===

Pažymėkime <math> A=\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} </math> ir <math> B=\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} </math>, tuomet pagal [[Vidurkis|aritmetinio – geometrinio vidurkio]] (''AM <math> \geq </math> GM'') nelygybę turime: <br />

<math> \sum_{i=1}^n \frac{a_ib_i}{AB} \leq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left (\frac{a_i^2}{A^2}+\frac{b_i^2}{B^2} \right) = 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq AB  </math>, o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti. <math> \blacktriangle </math>

=== Jenseno nelygybės metodas ===
Akivaizdu, kad funkcija <math> f(x)=x^2 </math> yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos <math> f''(x) > 0 </math>), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę: <br />

<math> \sum_{i=1}^n w_ix_i^2 \geq \left (\sum_{i=1}^n w_ix_i \right)^2 </math> ,čia <math> w_i </math> yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui: <math> \sum_{i=1}^n w_i = 1; </math> <br />

Dabar kiekvienam <math> b_i \neq 0 </math> ir <math> i=1, 2, 3, ..., n </math> parenkame <math> x_i=\frac{a_i}{b_i} </math> bei <math> w_i = \frac{b_i^2}{\sum_{i=1}^n b_i^2} </math>, o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę. <math> \blacktriangle </math>

=== Andresko – Anesko įrodymas ===
Tarkime <math>a,b\in\mathbb{R}</math> ir <math>x,y\in\mathbb{R^+}</math>, tuomet akivaizdu, kad galioja: <br />
<math>\left (ay-bx \right)^2 \geq 0 \Rightarrow </math> <br />

<math> a^2y^2+b^2x^2 -2abxy \geq 0 \Rightarrow </math> <br />

<math> \frac{a^2y}{x} + \frac{b^2x}{y} \geq 2ab \Rightarrow </math> <br />

<math> \frac{a^2y}{x} + \frac{b^2x}{y} +a^2 +b^2 \geq \left (a+b\right)^2 </math>, o pertvarkę gauname: <br />

<math> \frac{a^2}{x} + \frac {b^2}{y} \geq \frac{(a+b)^2}{x+y}. </math> Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę <math> b </math> į <math> b+c </math> , kur <math> c\in\mathbb{R}</math> , bei <math> y </math> į <math> y+z </math> , kur <math> z \in\mathbb{R^+} </math> ir pritaikę Tito lemą, gausime: <br />

<math> \frac{a^2}{x} + \frac {b^2}{y} +\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} </math>, o kartodami šias pakeitimo operacijas ''n'' kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei): <br />

<math> \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left (\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}{\sum_{i=1}^n b_i}. </math> Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius <math> a_i=\alpha_i \beta_i </math> ir <math> b_i = \beta_i^2 </math> gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę: <br />

<math>\left (\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n \beta_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n \alpha_i  \beta_i  \right)^2 \blacktriangle </math>

== Nuorodos ==
* [https://onionesquereality.wordpress.com/2013/09/25/some-proofs-of-the-cauchy-schwarz-inequality/ Some Proofs of the Cauchy-Schwarz Inequality] 2013-09-25. Shubhendu Trivedi;

[[Kategorija:Tiesinė algebra]]
[[Kategorija:Matematinė analizė]]
[[Kategorija:Tikimybių teorija]]
[[Kategorija:Matematinės teoremos]]