Peržiūrėti šaltinį Variacija (matematika)

'''Variaciaja''' ({{la|variatio}} - kitimas) – [[diferencialas|diferencialo]] sąvokos apibendrinimas; [[funkcija|funkcijos]] pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Jei funkcijos F(x) (x – abstrakčios erdvės elementas) pokytis yra ΔF(x) = А(x+h)-F(x) = L(x, h)+β(x, h), tai L(x, h) = δF(x) vadinama funkcijos F(x) variacija; L(x, h) tiesiškai priklauso nuo h, β(x, h) artėja į nulį greičiau negu h. Naudojimosi variacija sritys: [[variacinis skaičiavimas]], [[optimaliojio valdymo teorija]], [[netiesinė lygtis|netiesinių lygčių]] sprendimas. Variacija apskaičiuojama dažniausiai pagal formulę

<math>\delta F(x)=\frac{d}{d\alpha}F(x+\alpha h)\Bigg|_{\alpha =0}</math>
:: čia α – [[skaičius]].

Variacijos sąvoką apie 1760 m. pradėjo vartoti [[Joseph Louis Lagrange|Žozefas Lui Lagranžas]] spręsdamas uždavinius, kuriais ieškoma funkcionalo minimalioji arba maksimalioji reikšmė, šiandien tokie uždaviniai sudaro matematikos sritį – [[Variacinis skaičiavimas|variacinį skaičiavimą]].<ref>{{vle|variacija|2024-01-30|variacija}}</ref>

== Pavyzdys ==
Funkcija

:<math>F(x)=\int\limits_{a}^{b} f(t,x,x')dx</math>

jos variacija

:<math>\delta F(x)=\frac{d}{d\alpha}\int\limits_{a}^{b}f\Big(t,x(t)+\alpha h(t), x'(t)+\alpha h'(t)\Big)dt\Bigg|_{\alpha =0}=\int\limits_{a}^{b}\Big[f_x'\Big(t,x(t),x'(t)\Big)h(t)+f_{x'}'\Big(t,x(t),x'(t)\Big)h'(t)\Big]dt</math>

== Variaciniai metodai ==

Variaciniai metodai apytiksliai diferencinių lygčių kraštinių uždavinių sprendimo metodai: kraštinis uždavinys pakeičiamas ekvivalenčiu variaciniu uždaviniu. Pirmasis variacinis metodas buvo [[Oilerio laužčių metodas]]. [[XX amžius|XX a.]] pr. sukurti Rico ir Galiorkino metodai. Dažnai naudojamasi apibendrintais variaciniais skirtuminiais metodais.

Pvz., kraštinis uždavinys [[Puasono lygtis|Puasono lygčiai]] pakeičiamas tokiu variaciniu uždaviniu: rasti [[funkcija|funkciją]] ''u(x, y)'', su kuria funkcija įgyja mažiausią reikšmę (minimumą).

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y),\ (x,y)\in D,\ u|_{\Gamma}=0</math>
:: (Γ – srities ''D'' kontūras)
<math>J(u)=\iint\limits_D\Bigg[\Bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigg)^2+2fu\Bigg]dxdy</math>

Galima imti ir kitokias funkcijos ''J(u)'' išraiškas. Variacinis uždavinys sprendžiamas vienu tiesioginių metodų, pvz., [[Rico metodas|Rico metodu]]. Dažniausiai sprendinys užrašomas apytiksle formule

<math>u_n(x,y)=\sum_{i=1}^n a_i\varphi_i(x,y)</math>
:: čia ''φ<sub>i</sub>'' – žinomos funkcijos, ''a<sub>i</sub>'' – nežinomi koeficientai, randami sprendžiant ''n'' eilės algebrinių lygčių sistemą.

== Šaltiniai ==
{{Išnašos}}

[[Kategorija:Matematinė analizė]]
[[Kategorija:Tikimybių teorija]]