Peržiūrėti šaltinį Zermelo-Frenkelio aibių teorija

'''Zermelo-Frenkelio aibių teorija''' – [[aibių teorija|aibių teorijos]] variantas, besiremiantis [[aksioma|aksiomomis]], sukurtomis [[Ernst Zermelo|Ernsto Zermelo]] 1908 m. ir papildytomis [[Abraham Fraenkel|Abrahamo Frenkelio]] bei [[Thoralf Skolem|Toralfo Skolemo]].<ref name="StenfordoFE_SetTheory_Win2017">Joan Bagaria, "Set Theory", „[[Stenfordo filosofijos enciklopedija|The Stanford Encyclopedia of Philosophy]]“ (Winter 2017 Edition), Edward N. Zalta (ed.), [https://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/set-theory/]</ref>

Zermelo-Frenkelio aibių teorija remiasi [[pirmojo lygio logika]] su apibrėžta [[lygybė (matematika)|lygybe]].<ref name="StenfordoFE_SetTheory_Win2017"/> Taip pat pridedamas vienas [[santykis (aibių teorija)|santykis]] – [[priklausymas aibei]], žymimas <math>\in</math> (<math> a \in B </math> reiškia, kad <math>a</math> priklauso aibei <math>B</math>, yra jos elementas).<ref name="StenfordoFE_SetTheory_Win2017"/>

== Aksiomos ==

Zermelo-Frenkelio aibių teorijos aksiomos yra šios:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_Win2017"/>

# Ekstensionalumo aksioma
# Tuščios aibės aksioma
# Porų aksioma
# Visų galimų poaibių aibės aksioma
# Sąjungos aksioma
# Begalybės aksioma
# Atskyrimo aksiomų schema
# Pakeitimo aksiomų schema
# Pagrindo aksioma
# Pasirinkimo aksioma

Ekstensionalumo aksioma teigia, kad [[aibė|aibės]] yra [[aibių lygumas|lygios]], kai jos turi tuos pačius [[aibės elementas|elementus]]:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017">Joan Bagaria, "Set Theory", Supplement „Zermelo-Fraenkel Set Theory“, „[[Stenfordo filosofijos enciklopedija|The Stanford Encyclopedia of Philosophy]]“ (Winter 2017 Edition), Edward N. Zalta (ed.), [https://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/set-theory/]</ref>

: <math>\forall x \forall y [\forall z ( z \in x \Leftrightarrow z \in y ) \Rightarrow x = y]</math>

Tuščios aibės aksioma teigia, kad egzistuoja [[tuščia aibė]], kuriai niekas nepriklauso:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\exists x : \neg \exists y (y \in x)</math>

Tuščia aibė toliau žymima <math>\emptyset</math>.<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

Porų aksioma teigia, kad porai elementų egzistuoja aibė, kurioje jie yra:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall x \forall y \exists z \forall w ( w \in z \Leftrightarrow ( w = x \lor w = y ) )</math>

Aibė, kurioje yra elementai <math>x</math> ir <math>y</math> toliau žymima <math>\{x, y\}</math>.<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

Visų galimų poaibių aibės aksioma teigia, kad egzistuoja aibė, kurioje yra visi duotos aibės poaibiai:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall x \exists y \forall z ( z \in y \Leftrightarrow \forall w ( w \in z \Rightarrow w \in x ) )</math>

Aibė, kurioje yra visi aibės <math>x</math> poaibiai toliau žymima <math>\wp(x)</math>, o tai, kad <math>x</math> yra <math>y</math> [[poaibis]] – <math>x \subseteq y</math>.<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

Sąjungos aksioma teigia, kad kiekvienai aibei egzistuoja aibė, kuri yra pradinės aibės elementų [[aibių sąjunga|sąjunga]]:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall x \exists y \forall z ( z \in y \Leftrightarrow \exists w ( w \in x \land z \in w ) )</math>

Aibės <math>x</math> elementų sąjunga toliau žymima <math>\cup x</math>.<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

Begalybės aksioma teigia, kad egzistuoja bent viena [[begalinė aibė]]:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\exists x [ \emptyset \in x \land \forall y ( y \in x \Rightarrow \cup \{y, \{ y \} \} \in x ) ]</math>

Atskyrimo aksiomų schema teigia, kad kiekvienai aibei ir predikatui galima rasti aibę iš pradinės aibės elementų, kuriems predikatas teisingas:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall u_{1} ... \forall u_{k} [ \forall w \exists v \forall r ( r \in v \Leftrightarrow r \in w \land \phi_{x, \hat{u}}[r, \hat{u}]) ]</math>

Pakeitimo aksiomų schema teigia, kad galima aibės elementams pritaikyti [[funkcija|funkciją]], ir gauti aibę, kurios elementai bus grąžinti tos funkcijos:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall u_{1} ... \forall u_{k} [ \forall x \exists! y \phi (x, y, \hat{u}) \Rightarrow \forall w \exists v \forall r ( r \in v \Leftrightarrow \exists s ( s \in w \land \phi_{x, y, \hat{u}}[s, r, \hat{u}]) ]</math>

Pagrindo aksioma teigia, kad kiekvienoje netuščioje aibėje yra elementas, kuriame nėra jokio šios aibės elemento:<ref name="StenfordoFE_SetTheory_ZF_Win2017"/>

: <math>\forall x [ x \neq \emptyset \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \forall z (z \in x \Rightarrow \neg ( z \in y) ) ) ]</math>

Pasirinkimo aksioma teigia, kad jei turime aibę netuščių ir nesikertančių aibių, galime suformuoti aibę, kurioje būtų po vieną elementą iš jų.<ref name="StenfordoFE_SetTheory_Win2017"/>

== Išnašos ==
{{ref}}

[[Kategorija:Aibių teorija]]