Menamasis skaičius

Šablonas:Mvar laipsniai yra cikliški:
$⋮$
$i^{-2}=-1\phantom{i}$
$i^{-1}=-i\phantom{1}$
$i^0=\phantom{-}1\phantom{i}$
$i^1=\phantom{-}i\phantom{1}$
$i^2=-1\phantom{i}$
$i^3=-i\phantom{1}$
$i^4=\phantom{-}1\phantom{i}$
$i^5=\phantom{-}i\phantom{1}$
$⋮$
$i$ is a 4th root of unity

Menamasis skaičius yra realusis skaičius padaugintas iš menamojo vieneto Šablonas:Mvar, kuris apibrėžiamas lygtimi Šablonas:Math. Menamojo skaičiaus Šablonas:Mvar kvadratas yra Šablonas:Math. Pavyzdžiui, Šablonas:Math yra menamasis skaičius, o jo kvadratas yra Šablonas:Math. Skaičius nulis yra laikomas ir realusis, ir menamasis.

Menamųjų skaičių sąvoka XVII a. buvo įvesta Renė Dekarto kaip menkinantis terminas ir buvo laikomas kaip išsigalvotas ar beprasmis, o vėliau buvo plačiai pripažintas dėka Leonardo Oilerio (XVIII a.), Ogiusteno Lui Koši ir Karlo Frydricho Gauso (XIX a. pr.) darbų.

Menamasis skaičius Šablonas:Math gali būti sudėtas su realiuoju skaičiumi Šablonas:Mvar, sudarant kompleksinį skaičių Šablonas:Math, kur Šablonas:Mvar ir Šablonas:Mvar yra vadinami atitinkamai kompleksinio skaičiaus realiąja dalimi ir menamąja dalimi.

Istorija

Kompleksinės plokštumos atvaizdavimas. Menamieji skaičiai yra vertikalioje koordinačių ašyje.

Nors graikų matematikas ir inžinierius Heronas iš Aleksandrijos yra žinomas kaip pirmasis, pateikęs skaičiavimą, kuriame naudojama neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, 1572 m. kompleksinių skaičių daugybos taisykles pirmą kartą nustatė Rafaelis Bombelli. Ši sąvoka spaudoje pasirodė anksčiau, pavyzdžiui, Gerolamo Cardano darbe. Tuo metu menamieji skaičiai ir neigiami skaičiai buvo menkai suprantami, o kai kurie juos laikė fiktyviais ar nenaudingais, panašiai kaip kadaise buvo nulis. Daugelis kitų matematikų vangiai pradėjo naudoti menamuosius skaičius, įskaitant Rene Dekartą, kuris apie juos rašė savo knygoje „Geometrija“, kuriame sukūrė terminą „menamasis“ (angl. „imaginary") ir nurodė, kad jis yra menkinantis. Menamųjų skaičių naudojimas nebuvo plačiai priimtas iki Leonhardo Eulerio (1707–1783) ir Karlo Frydricho Gauso (1777–1855).

Menamųjų skaičių naudojimo idėją toliau plėtojo Viljamas Rovanas Hamiltonas, kuris 1843 m. išplėtė menamųjų skaičių ašies idėją plokštumoje į keturmatę Kvaternijonų menamųjų skaičių erdvę kompleksiniame lauke.

Geometrinis paaiškinimas

90-laipsnių pasukimas kompleksinėje plokštumoje Geometriškai menamieji skaičiai yra vaizduojami vertikalioje kompleksinės plokštumos ašyje, kuri vadinama "menamąja ašimi". and is denoted $iℝ,$ $𝕀,$ or Šablonas:Math.

Šiame pavaizdavime daugyba iš Šablonas:Mvar atitinka sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę 90 laipsnių kampu apie pradžią, kuri yra ketvirtadalis apskritimo. Daugyba iš by Šablonas:Math atitinka 90 laipsnių sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę apie pradžią. Atitinkamai, Šablonas:Mvar padauginus iš grynai menamojo skaičiaus Šablonas:Mvar, kai Šablonas:Mvar yra realusis skaičius, abu pasisuka prieš laikrodžio rodyklę apie pradžią 90 laipsnių kampu ir atsakymą padidina koeficientu Šablonas:Mvar. Kai Šablonas:Math, tai galima apibūdinti kaip sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę 90 laipsnių kampu ir a mastelio keitimą $|b|$.

Literatūra

• Šablonas:Cite book, paaiškina daugelį menamųjų skaičių pritaikymų.

Taip pat skaitykite

Kompleksiniai skaičiai

Matematinės konstantos