Būlio algebra

Matematikoje bei informatikoje Būlio algebra (arba Logikos algebra) – sritis, tirianti loginius kintamuosius bei funkcijas.

Didelę įtaką Būlio algebros raidai turėjo skaičiavimo mechanizavimas, o svarbiausias taikymas – elektroninėse schemose.

Istorija

Būlio algebra pavadinta anglų matematiko Džordžo Būlio (1815-1864 m.) vardu, nes jis pirmasis ją apibrėžė kaip loginės sistemos dalį, bandant panaudoti algebrines technikas loginiams skaičiavimams.

Būlio algebra matematikoje

Matematikoje Būlio algebra apibrėžiama kaip algebra (B, *, +, ¬, 0, 1), kurią sudaro aibė B, turinti mažiausiai 2 elementus (0, 1), kurioje apibrėžtos tokios 3 operacijos: IR operacija (konjunkcija, loginė daugyba), ARBA operacija (disjunkcija, loginė sudėtis), NE operacija (inversija, neigimas).

Šiandien Būlio algebra turi daugybę pritaikymų elektroninėse schemose. Pirmą kartą Klodas Šenonas ją pritaikė XX amžiuje komutatoriuose.

Loginiai kintamieji

Loginiai kintamieji (dar vadinami binariniais) gali turėti tik dvi reikšmes – 1 (taip) ir 0 (ne). Su jais galima atlikti logines operacijas. Elementarios loginės operacijos su vienu, dviem loginiais kintamaisiais yra vadinamos unarinėmis (vieno kintamojo) ar binarinėmis (dviejų kintamųjų) loginėmis operacijomis. Loginė operacija paprastai užrašoma formule arba jai sudaroma funkcijos būvio (teisingumo) lentelė.

Loginės (Būlio) funkcijos

Logine (Būlio) funkcija vadinama funkcija, kurios argumentai yra Būlio kintamieji ir kuri gali įgyti tik dvi reikšmes – 0 ir 1.

Šablonas:Lentelės viršus ! width="50"|$x$ ! width="50"|$f$₀$(x)$ ! width="50"|$f$₁$(x)$ ! width="50"|$f$₂$(x)$ ! width="50"|$f$₃$(x)$ |----- ! align="center"|0 | align="center"|0 | align="center"|0 | align="center"|1 | align="center"|1 |----- ! align="center"|1 | align="center"|0 | align="center"|1 | align="center"|0 | align="center"|1 |}

Funkcijos $f$₀$(x)$ ir $f$₃$(x)$ vadinamos išsigimusiomis, nes nepriklauso nuo kintamojo reikšmės

Loginės operacijos

Pagrindinės operacijos yra:

• konjunkcija (žymima IR, ·, $\wedge$, &)
• disjunkcija (ARBA, +, $\vee$, |)
• inversija (NE, ~, ¬, kai kada !)

Visos kitos operacijos gali būti išreikštos šiomis pagrindinėmis operacijomis. Visoms operacijoms išreikšti pakanka ir dviejų pagrindinių veiksmų (būtina operacija NE, viena iš likusių dviejų operacijų (IR arba ARBA) yra perteklinė. Tačiau tuomet formulės tampa sudėtingesnės.

Galimų dviejų kintamųjų Būlio operacijų rezultatų lentelė:

Nr.	reikšmės:	x1	0	0	1	1	Aprašymas
		x2	0	1	0	1
			Rezultatas
0	0		0	0	0	0	Konstanta 0
1	IR		0	0	0	1	Konjunkcija, loginė daugyba (IR). Žymima &, ∧
2	x1∆x2		0	0	1	0	Draudimas
3	x1		0	0	1	1	Kintamasis x1
4	x2∆x1		0	1	0	0	Draudimas
5	x2		0	1	0	1	Kintamasis x2
6	¬(x1≡x2)		0	1	1	0	Neekvivalentiškumas, x1≠x2. Dažnai žymima XOR (pagal Šablonas:Angl).
7	ARBA		0	1	1	1	disjunkcija, loginė sudėtis (ARBA). Žymima ∨
8	¬(x1∨x2)		1	0	0	0	disjunkcijos neigimas, Pirso rodyklė. Žymima ↓
9	x1≡x2		1	0	0	1	Ekvivalentiškumas, x1=x2. Žymima ≡
10	¬x2		1	0	1	0	x2 neigimas, inversija.
11	x2→x1		1	0	1	1	Implikacija
12	¬x1		1	1	0	0	x1 neigimas, inversija.
13	x1→x2		1	1	0	1	Implikacija
14	¬(x1∧x2)		1	1	1	0	Konjunkcijos neigimas, Šeferio brūkšnelis. Žymima |
15	1		1	1	1	1	Konstanta 1