Kvaternijonas

Paminklinė lenta, žyminti vietą, kur Hamiltonas sugalvojo kvaternijonus

Kvaternijonas arba kvaternionas (Šablonas:La – keturi) – skaičių aibė, nekomutatyvus kompleksinių skaičių aibės praplėtimas. Kvaternijono koncepciją sumanė airis Viljamas Rovanas Hamiltonas 1843 m.

Apibrėžimas

Kvaternijonų daugyba

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Jei kompleksiniai skaičiai gaunami prie realiųjų skaičių pridedant įsivaizduojamą elementą $i$, kur $i^2=-1$, kvaternijonų aibė gaunama pridedant tris elementus $i$, $j$ ir $k$, tenkinančius tokias sąlygas:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Kiekvienas kvaternijonas užrašomas formule:

$a+bi+cj+dk$

Savybės

Skirtingai, nei realių ar kompleksinių skaičių, kvaternijonų daugyba yra nekomutatyvi, t. y. $ij=k$, bet $ji=-k$.

Kvaternionų ciklinės sandaugos diagrama.

Taip pat menamųjų komponenčių porų sandaugų rezultatą galima vaizduoti cikline diagrama. Gretimų dviejų komponenčių sandauga nurodyta kryptimi yra lygi sekančiai komponentei, pvz.: $ij=k$, $jk=i$. Dauginant komponenčių poras priešinga kryptimi nei rodyklėmis nurodyta diagramoje gaunama trečia komponentė su neigiamu ženklu, pvz.: $kj=-i$. Tą patį rezultatą galima matyti ir kvaternijonų daugybos lentelėje.

Vaizdavimas matricomis

Kvaternijonus galima vaizduoti 2×2 dydžio kompleksinių skaičių matrica arba 4×4 dydžio realiųjų skaičių matrica. Taigi, kvaternijoną $a+bi+cj+dk$ galima užrašyti:

$\left(\begin{array}{cc}a-di& -b+ci\\ b+ci& a+di\end{array}\right)$

Arba:

$\left(\begin{array}{cccc}a& -b& d& -c\\ b& a& -c& -d\\ -d& c& a& -b\\ c& d& b& a\end{array}\right)$

Panaudojimas

Kvaternijonai naudojami kompiuterinėje grafikoje objektų transformavimui trimatėje erdvėje. Kvaternijonai taip pat naudojami signalų apdorojime, fizikoje.