Gryno formulė

Šablonas:Copy to Wikibooks Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy.$

čia integracijos kelias išilgai $L$ yra prieš laikrodžio rodyklę.

Pavyzdžiai

• Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą ${\oint }_L(x-y)dx+(x+y)dy,$ kur L - apskritimas $x^2+y^2=R^2.$

Funkcijos $P(x,y)=x-y,$ $Q(x,y)=x+y$ ir $\frac{\partial P}{\partial y}=-1,\frac{\partial Q}{\partial x}=1$ netrūkios uždarame rate $x^2+y^2=R^2.$ Todėl pagal Gryno teoremą turime (${\rho }^2=R^2,$ $\rho =R$):

${\oint }_L(x-y)dx+(x+y)dy=\underset{D}{\iint }[1-(-1)]dxdy=2\underset{D}{\iint }dxdy=2s=2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{R}{\int }}\rho d\rho =$ $=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\rho }^2{|}_0^{R}d\varphi =R^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi =R^2\varphi {|}_0^{2\pi }=2\pi R^2.$

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

$\underset{L}{\int }xydx+(x^2+y^2)dy,$ kai L - apskritimas $x^2+y^2=ax$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje $x^2+y^2\le ax$ funkcijos $P(x,y)=xy$ ir $Q(x,y)=x^2+y^2$ bei jų dalinės išvestinės $\frac{\partial P}{\partial y}=x$ ir $\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: $\underset{L}{\int }xydx+(x^2+y^2)dy=\underset{D}{\iint }(2x-x)dxdy=\underset{D}{\iint }xdxdy.$ Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas $\varphi$ kinta nuo $-\frac{\pi }{2}$ iki $\frac{\pi }{2}.$ Vadinasi ($x=\rho \cos \varphi ,$ ${\rho }^2=a\rho \cos \varphi ,$ $\rho =a\cos \varphi$), $\underset{D}{\int }xdxdy=\underset{D}{\iint }{\rho }^2\cos \varphi d\rho d\varphi =\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos \varphi d\varphi \underset{0}{\overset{a\cos \varphi }{\int }}{\rho }^{2}d\rho =\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos \varphi \frac{{\rho }^3}{3}{|}_0^{a\cos \varphi }d\varphi =$ $=\frac{a^3}{3}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^4\varphi d\varphi =\frac{2a^3}{3}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^4\varphi d\varphi =\frac{2a^3}{3}\cdot \frac{3!!}{4!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi a^3}{8},$ kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: $D={\oint }_L-ydx={\oint }_{L}xdy=\frac{1}{2}{\oint }_{L}xdy-ydx.$ Jos išvedamos šitaip:

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy.$

• Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei $P(x,y)=-y,$ $Q(x,y)=0.$ Tada $\frac{\partial P}{\partial y}=-1,\frac{\partial Q}{\partial x}=0.$ Pagal formulę turime:

$\underset{D}{\iint }(0+1)dxdy={\oint }_L-ydx+0dy.$ Integralas $\underset{D}{\iint }dxdy$ lygus paaviršiui srities D , todėl, $D=\underset{D}{\iint }dxdy=-{\oint }_{L}ydx.$

• Sakykime, $P(x,y)=0,$ $Q(x,y)=x,$ analoginiu budu randame, kad

$D={\oint }_{L}xdy.$

• Ir, pagaliau, paėmę funkcijas $P(x,y)=-\frac{1}{2}y,Q(x,y)=\frac{1}{2}x,$ gauname formulę

$D=\underset{D}{\iint }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})dxdy=\underset{D}{\iint }dxdy=\frac{1}{2}{\oint }_{L}xdy-ydx.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime plotą apribotą elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ pagal formulę $D={\oint }_{L}xdy.$ Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: $x=a\cos t,$ $y=b\sin t,$ $0\le t\le 2\pi ,$ $dy=b\cos t,$ gauname:

$D={\oint }_{L}xdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}a\cos tb\cos tdt=\frac{ab}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(1+\cos (2t))dt=\frac{ab}{2}(2\pi +\frac{\sin (2t)}{2}{|}_0^{2\pi })=\pi ab.$

Jėgos darbas

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę $A=\underset{BC}{\int }Pdx+Qdy.$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: $A=\underset{BC}{\int }Pdx+Qdy+Rdz.$

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-{\oint }_{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,$ $y=b\sin t,$ $0\le t\le 2\pi .$ Todėl

$A=-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin tb\cos tdt=-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(b^2-a^2)\sin t\cos tdt=$ $=\frac{a^2-b^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin (2t)dt=\frac{a^2-b^2}{4}(-\cos (2t)){|}_0^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki $\frac{\pi }{2},$ integralas butu lygus $\frac{a^2-b^2}{4}(-\cos (2t)){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{a^2-b^2}{2}.$

Taip pat skaitykite

• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Pilnųjų diferencialų integravimas
• Apibrėžtinis integralas