Paviršinis integralas

Paviršinis integralas – funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralas

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei $f[x,y,z(x,y)]=1.$ Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę: $\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}{)}^2}dxdy.$

Paraboloidas.

• Apskaičiuosime integralą $\underset{S}{\iint }\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS,$ kur S dalis paraboloido $z=1-x^2-y^2,$ atpjauto plokštuma $z=0.$

Paviršius S, aprašomas lygtimi $z=1-x^2-y^2,$ projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu $x^2+y^2=1$ (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai $z=0$). Todėl sritis D yra skritulys $x^2+y^2\le 1.$ Šiame skritulyje funkcijos $z=1-x^2-y^2,$ ${z_x}^{\prime }(x,y)=-2x,$ ${z_y}^{\prime }(x,y)=-2y$ netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule $\sqrt{1+z_x{\text{'}}^2(x;y)+z_y{\text{'}}^2(x;y)},$ gauname

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+4x^2+4y^2}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=$ $=\underset{D}{\iint }(1+4x^2+4y^2)dxdy.$

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates $x=\rho \cos \varphi ,$ $y=\rho \sin \varphi ,$ randame

$\underset{D}{\iint }(1+4x^2+4y^2)dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+4{\rho }^2)\rho d\rho =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(\frac{{\rho }^2}{2}+{\rho }^4){|}_0^1=\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi =\frac{3}{2}\varphi {|}_0^{2\pi }=3\pi .$

Antrojo tipo paviršinis integralas

$\underset{S}{\iint }P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=$ $=\underset{S}{\iint }P(x,y,z)dydz+\underset{S}{\iint }Q(x,y,z)dzdx+\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

$\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(x,y,f(x,y))dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

$\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(f(y,z),y,z)dydz.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

$\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(x,f(x,z),z))dzdx.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime integralą $\underset{S}{\iint }(y^2+z^2)dxdy,$ kur S – viršutinė dalis paviršiaus $z=\sqrt{1-x^2},$ atkirsta plokštumomis $y=0,$ $y=1.$

Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis $-1\le x\le 1,0\le y\le 1.$ Pagal formulę $\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(x,y,f(x,y))dxdy$ randame

$\underset{S}{\iint }(y^2+z^2)dxdy=\underset{D}{\iint }[y^2+(\sqrt{1-x^2}{)}^2]dxdy=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}(y^2+1-x^2)dy=$ $=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(\frac{y^3}{3}+y-x^{2}y){|}_0^{1}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(\frac{4}{3}-x^2)dx=(\frac{4}{3}x-\frac{x^3}{3}{)}_{-1}^1=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3})=1+1=2.$

• Apskaičiuosime integralą $\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy,$ kur S viršutinė dalis plokštumos $x+z-1=0,$ atkirsta plokštumomis $y=0,$ $y=4$ ir gulinti pirmajame oktante.

Pagal apibrėžimą,

$\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy=$ $=\underset{D_1}{\iint }x(y,z)dydz+\underset{S}{\iint }ydzdx+\underset{D_2}{\iint }z(x,y)dxdy.$ Čia $D_1$ ir $D_2$ – projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o $\underset{S}{\iint }ydzdx=0,$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje $y=0$). Pagal formules $\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(x,y,f(x,y))dxdy$ ir $\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(f(y,z),y,z)dydz$ atitinkamai randame $\underset{S}{\iint }zdxdy=\underset{D_2}{\iint }(1-x)dxdy=\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}(x-\frac{x^2}{2}){|}_0^{1}dy=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy=2,$ $\underset{S}{\iint }xdydz=\underset{D_1}{\iint }(1-z)dydz=\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-z)dz=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy=2.$

Todėl $\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.$

Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.

• Apskaičiuosime integralą $\underset{S}{\iint }(z-R{)}^{2}dxdy$ pagal viršutinę pusę pusiasferės $x^2+y^2+z^2=2Rz,$ $R\le z\le 2R.$

Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi

$x^2+y^2+z^2=2Rz,$

$x^2+y^2+(z-R{)}^2=R^2,$

$(z-R{)}^2=R^2-x^2-y^2,$

$z-R=\sqrt{R^2-x^2-y^2},$

$z=R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}.$

Todėl pagal formulę $\underset{S}{\iint }R(x,y,z)dxdy=\underset{D}{\iint }R(x,y,f(x,y))dxdy$ turime: $\underset{S}{\iint }(z-R{)}^{2}dxdy=\underset{D}{\iint }(R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}-R{)}^{2}dxdy=\underset{D}{\iint }(R^2-x^2-y^2)dxdy,$

kur D – skritulys $x^2+y^2\le R$ plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime: $\underset{S}{\iint }(z-R{)}^{2}dxdy=\underset{D}{\iint }(R^2-x^2-y^2)dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{R}{\int }}(R^2-{\rho }^2)\rho d\rho =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(\frac{R^2{\rho }^2}{2}-\frac{{\rho }^4}{4}){|}_0^{R}d\varphi =$ $=\frac{R^4}{4}\varphi {|}_0^{2\pi }=\frac{\pi R^4}{2}.$

Plokštuma S.

• Apskaičiuosime integralą $\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy$ pagal viršutine pusę dalies plokštumos$x+2z=2,$ gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma $y=4.$

Pagal nustatymą $\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy=\underset{S}{\iint }xdydz+\underset{S}{\iint }ydzdx+\underset{S}{\iint }zdxdy.$ $\underset{S}{\iint }xdydz=\underset{D_1}{\iint }(2-2z)dydz=2\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-z)dz=4.$

$\underset{S}{\iint }ydzdx=0,$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.

$\underset{S}{\iint }zdxdy=\underset{D_2}{\iint }(1-\frac{x}{2})dxdy=\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy\underset{0}{\overset{2}{\int }}(1-\frac{x}{2})dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}(x-\frac{x^2}{4}){|}_0^{2}dy=$

$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}(2-\frac{2^2}{4})dy=\underset{0}{\overset{4}{\int }}dy=y{|}_0^4=4.$

Todėl,

$\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.$