Ermito polinomas

Ermito polinomas matematikoje – polinomas, priklausantis ortogonalių polinomų sekai, kurį atsiranda tikimybių teorijos problemose, kombinatorikoje bei fizikoje.

Apibrėžimas

Ermito polinomai yra apibrėžiami arba sąryšiu

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}$

("tikimybiniai Ermito polinomai"), arba kartais kitu sąryšiu

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$

("fizikiniai Ermito polinomai"). Šie du apibrėžimai nėra tiksliai vienodi, vienas yra kito mastelio keitimas

$H_n^{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{z}}(x)=2^{n/2}{H}_n^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}}(\sqrt{2}x).$

Tradiciškai matematikoje naudojamas pirmas apibrėžimas, kadangi

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

yra tikimybės tankio funkcija normaliam skirstiniui su tikėtina vertė 0 ir standartiniu nuokrypiu 1.

Pirmi penki Ermito polinomai.

Pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal tikimybių teorijoje naudojamą apibrėžimą:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=x$

$H_2(x)=x^2-1$

$H_3(x)=x^3-3x$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945$

ir pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal fizikoje (kvantinėje mechanikoje) naudojamą apibrėžimą:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=4x^2-2$

$H_3(x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240$

Taip pat skaitykite

• Gauso pluoštas
• Ermito ir Gauso pluoštas