Furjė eilutė

Furjė eilutės konvergavimas

Matematikoje Furjė eilutė – periodinis funkcijos vaizdavimas kaip tokio pavidalo periodinių funkcijų suma;

$x\mapsto e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx),$

kurios yra e^{i x} harmonikos. Pagal Eulerio formulę, eilutė gali būti atitinkamai išreikšta trigonomentinėmis (sin, cos) funkcijomis.

Šios eilutės pavadintos prancūzų matematiko Žano Baptisto Furjė vardu. Furjė pirmasis sistemingai tyrė begalines eilutes, prieš tai tirtas Eulerio, Dalambero ir Danielio Bernulio. Furjė šias eilutes panaudojo šilumos lygties sprendime, kurio pirmuosius rezultatus paskelbė 1807 ir 1811, o 1822 metais išleido Théorie analytique de la chaleur. Vėliau Furjė rezultatus patikslino ir formalizavo Dirichlė ir Rymanas.

Furjė eilučių apibrėžimas

Tarkime, jog f(x), kompleksinių reikšmių realiųjų argumentų funkcija, yra periodinė su 2π periodu, taip pat jos absoliučios reikšmės kvadrato integralas intervale nuo 0 iki 2π yra baigtinis. Apsibrėžiame

$F_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)(\cos (nx)-i\sin (nx))dx.$

Tada f(x) vaizduojamas Furjė eilute:

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{inx}.$

Specialiu atveju, kai f(x) reikšmės yra realieji skaičiai, galima keisti

$e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx)$

ekvivalenčiu f(x) vaizdavimu kaip begalinę tiesinę funkcijų $\cos (nx)$ ir $\sin (nx)$ kombinaciją:

$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)]$, kur

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx$

kas atitinka $F_n=(a_n-i{b}_n)/2$ ir $F_n=F_{-n}^{*}.$

Taikymas

Furjė eilutės gali būti naudojamos aprašyti bet kokios formos realių šaltinių determinuotus virpesius, kadangi jie tenkina Dirichlė sąlygas.

Nuorodos

• Diskrečioji Furjė transformacija
• Tolydžioji Furjė transformacija
• Furjė eilučių ir Furjė integralo laboratorinis naudojant MathCad Šablonas:Webarchive, R. Vilkas