Iškiloji funkcija

Iškiloji funkcija (kirstinė tarp taškų $x_1$ ir $x_2$ visur yra virš grafiko).

Iškiloji funkcija – tokia funkcija, kurioje kirstinė (atkarpa, jungianti du grafiko taškus) visur yra virš to grafiko arba sutampa su juo. Pats terminas net dėstantiems matematiką nėra akivaizdus, nes mes iškart manome, kad tai turėtų būti iškiluma, kalnelis. Tačiau iš tiesų vizualiai tai bus įduba.

Iškilosioms funkcijoms galioja Jenseno nelygybė. Bet kokiems $x_1$, $x_2$ ir skaičiui $t\in [0,1]$:

$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

Taip pat jos tenkina Ermito-Adamaro nelygybę:

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{x_2-x_1}\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.$

Kelios svarbios iškilosios funkcijos savybės yra:

• Diferencijuojamoji vieno argumento funkcija yra iškiloji intervale jei tik visi funkcijos taškai guli virš tos funkcijos liestinės.
• Du kartus diferencijuojamoji vieno argumento funkcija yra iškiloji intervale jei jos antroji išvestinė tame intervale yra neneigiama. Tai paprastai naudojama kaip praktinis kriterijus patikrinti ar funkcija yra iškiloji.

Kita gimininga sąvoka yra įgaubtoji funkcija. Jos kirstinė visada turės būti žemiau grafiko (kalvos pavidalo funkcija, išlinkusi į viršų).

Istorija

Terminą „iškilioji funkcija“ pirmą kartą pavartojo danų matematikas Johan Ludwig Jensen 1905 m.