Bio-Savaro dėsnis

Šablonas:Šaltiniai Bio-Savaro dėsnis – vienas svarbiausių elektromagnetizmo dėsnių, naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai apskaičiuoti:

$\text{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I(\text{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r})}{4\pi r^3}$

Bio-Savaro dėsnio taikymas

Dažniausiai reikia rasti indukcijos modulį

$\text{d}B=\frac{{\mu }_{0}I\sin \alpha \text{d}l}{4\pi r^2}$

Vaizdas:BioSav1.gif

Tiesus ilgas plonas laidas, kuriuo teka stiprio I srovė. Pasirinktas bet kuris taškas A, nutolęs nuo laidininko atstumu R. Atstumu l nuo statmens, išvesto iš taško A į tiesę, kurioje yra laidininkas, išskirta trumpa ilgio dl laidininko atkarpa.

Tiesaus plono laidininko magnetinė indukcija

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

$\begin{array}{cc}l& =R\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\alpha }\\ \text{d}l& =-\frac{R\text{d}\alpha }{{\sin }^2\alpha }\\ r& =\frac{R}{\sin \alpha }\\ \end{array}$

Integruojama nuo ${\alpha }_1$ iki ${\alpha }_2$. Kadangi laidininkas be galo ilgas, tai ${\alpha }_1\to 0$, o ${\alpha }_2\to \pi$; gaunama, kad

$B=|-\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \alpha \text{d}\alpha |=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}$

Vaizdas:BioSav2.gif

Plonas žiedas (apvija), kuriuo teka stiprio I srovė. Pasirinktas per apskritimo centrą einančios statmenos apskritimo plokštumai tiesės taškas A, nutolęs nuo laidininko atstumu h. Išskirta trumpa ilgio dl laidininko atkarpa.

Plono žiedo (apvijos) magnetinė indukcija

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{h^2+R^2}\\ \sin \alpha & =\frac{R}{\sqrt{h^2+R^2}}\\ \end{array}$

Suintegravus gaunama, kad

$\begin{array}{cc}B& =|\frac{{\mu }_{0}IR}{4\pi }\cdot 2\underset{0}{\overset{\pi R}{\int }}\frac{\text{d}l}{{(h^2+R^2)}^{3/2}}|=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2{\left(h^2+R^2\right)}^{3/2}}=\\ & =\frac{{\mu }_{0}I{\sin }^3\alpha }{2R}\end{array}$

Pastaba: kadangi apeinant visą ploną ilgio $l=2\pi R$ žiedą atstumas $r$ nekinta, tai integravimas yra tik formalumas, nes pakanka gautąją Bio-Savaro dėsnio išraišką padauginti iš $2\pi R$.

Vaizdas:BioSav3.gif

Be galo ilgo solenoido, sudaryto iš N antrame pavyzdyje išnagrinėtų spindulio R apvijų, l ilgio fragmentas. Jo apvijomis teka stiprio I srovė. Pasirinktas per apskritimo centrą einančios statmenos apskritimo plokštumai tiesės taškas C, esantis toli nuo solenoido galų. Atstumu CM=h nuo jo išskirta trumpa ilgio dh solenoido dalis.

Solenoido magnetinė indukcija

Laikoma, kad solenoidą sudaro apvijos, priglaustos viena prie kitos, bet ne ištisinis spirale susuktas laidas. Pažymėta $\mathrm{\angle }NCA=\alpha$, $\mathrm{\angle }DCA={\alpha }_1$, $\mathrm{\angle }BCA={\alpha }_2$.

Viena apvija kuria indukciją

$\text{d}{B}_0=\frac{{\mu }_{0}I{\sin }^3\alpha }{2R}$

$l$ ilgio fragmento dalis $\text{d}h$ taške C kuria indukciją. Ji priklauso nuo toje dalyje esančių apvijų skaičiaus

$\text{d}N=\frac{N}{l}\cdot \text{d}h$

Todėl dalis $\text{d}h$ kuria indukciją

$\text{d}B=\frac{{\mu }_{0}IN{\sin }^3\alpha }{2lR}\text{d}h$

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

$\begin{array}{cc}h& =R\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\alpha }\\ \text{d}h& =-\frac{R\text{d}\alpha }{{\sin }^2\alpha }\end{array}$

Integruojama nuo ${\alpha }_1$ iki ${\alpha }_2$. Kadangi solenoidas be galo ilgas, tai ${\alpha }_1\to 0$, o ${\alpha }_2\to \pi$; gaunama, kad

$B=|-\frac{{\mu }_{0}IN}{2l}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \alpha \text{d}\alpha |=\frac{{\mu }_{0}IN}{l}={\mu }_{0}In$

kur $n$ – solenoido apvijų skaičius ilgio vienete

Pastaba: šioje formulėje nėra dydžio $h$, o tai reiškia, kad ilgos ritės dalyse, esančiose toli nuo jos galų, magnetinė indukcija nekinta einant tiese CA. Sudėtingesni skaičiavimai rodo, kad indukcija tose dalyse nekinta ir einant skersai ritės. Vadinasi, šiose dalyse sukuriamas vienalytis magnetinis laukas.

Šias formules taip pat galima gauti ir naudojantis Ampero dėsniu, kuris taip pat naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai nustatyti.