Trigonometrinių funkcijų integravimas

Šablonas:Nocontext Trigonometrinių funkcijų integravimas – integravimo technika, kai trigonometrinės funkcijos yra pakeičiamos kitomis išraiškomis. Trys įprastai naudojamos išraiškos yra apribotas sinusas, apribotas tangentas ir apribotas sekantas.

Pavyzdžiai

I. Integralai $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx,$ kur m, n - sveikieji skaičiai, suvedami į integralą su binominiu diferencialu ir integruojami tik 3 atvejais:

1)n nelyginis;

2)m nelyginis;

3)m+n lyginis.

Jei n nelyginis, taikome keitinį $\sin x=t,$ jei m nelyginis, taikome keitinį $\cos x=t;$ jei $m+n$ lyginis, keičiame $\tan x=t;$ $\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

II.Integralai $\int \sin x\cos xdx$ (be laipnsių) suvedami į racionaliųjų funkcijų integralus keitiniu $\tan \frac{x}{2}=t.$ Tada $\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$

Pavyzdžiai

• $\int \frac{dx}{3+\sin x+\cos x}.$ $\tan \frac{x}{2}=t;$ $\frac{x}{2}=\arctan t;$ $x=2\arctan t;$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2};$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};$ $dx=d(2\arctan t)=\frac{2dt}{1+t^2}.$

$\int \frac{dx}{3+\sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2(t^2+t+2)}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t^2+t+2}=\int \frac{dt}{(t+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}}=$ $=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{7}}+C=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\sqrt{7}}+C.$

• $\int \frac{dx}{5{\cos }^{2}x+9{\sin }^{2}x}.\tan x=t;\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

$\int \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{5(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}{)}^2+9(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}{)}^2}=\int \frac{dt}{5+9t^2}=\frac{1}{3\sqrt{5}}\arctan \frac{3t}{\sqrt{5}}+C.$

• $\int \frac{{\cos }^{4}x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{(1-{\sin }^{2}x{)}^2}{{\sin }^{2}x}dx=\int (\frac{1}{{\sin }^{2}x}-2+{\sin }^{2}x)dx=-\cot x-2x+\frac{1}{2}\int (1-\cos (2x))dx=$

$=-\cot x-\frac{3x}{2}-\frac{\sin (2x)}{4}+C.$

• $\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{6}x}dx.$ Skaičiai m ir n lyginiai, $m=2,$ $n=-6,$ $m+n=-4$ lyginis, todėl taikome keitnį $\tan x=t;$ $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};$ $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}{)}^2}=1+t^2;$ $\frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\frac{\frac{dt}{1+t^2}}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}{)}^2}=dt.$

$\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{6}x}dx=\int t^2(1+t^2)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+C=\frac{{\tan }^{3}x}{3}+\frac{{\tan }^{5}x}{5}+C.$

• $\int \frac{\cot xdx}{1-\sin x-\cos x}=\int \frac{\cos xdx}{\sin x(1-\sin x-\cos x)}=\int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}(1-\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2})}=$

$=\int \frac{\frac{2(1-t^2)dt}{(1+t^2{)}^2}}{\frac{2t+2t^3-4t^2-2t+2t^3}{(1+t^2{)}^2}}=\int \frac{2(1-t)(1+t)dt}{4t^3-4t^2}=-\frac{1}{2}\int (\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t})dt=\frac{1}{2}(\cot \frac{x}{2}-\ln |\tan \frac{x}{2}|)+C,$ kur $\tan \frac{x}{2}=t;\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$

III. Integralams $\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx=\int x^{\pm 1}(\sqrt{a^2-x^2}{)}^{\pm 1}dx$ taikomi ketiniai $x=a\sin t,$ $x=a\tan t$ arba $x=\frac{a}{\sin t}.$

Pavyzdžiai

• $\int x\sqrt{9-x^2}dx=\int 3\sin t\sqrt{9-9{\sin }^{2}t}\cdot 3\cos tdt=9\int \sin t\frac{3\sqrt{9-9{\sin }^{2}t}}{3}\cdot \cos tdt=$

$=27\int \sin t\cos t\cos tdt=-27\int {\cos }^{2}td(\cos t)=-27\frac{{\cos }^{3}t}{3}+C=-9(1-{\sin }^{2}t)\sqrt{1-{\sin }^{2}t}+C=$ $=-9(1-\frac{x^2}{3^2})\sqrt{1-\frac{x^2}{3^2}}+C=-\frac{1}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C,$ kur $3\sin t=x;$ $\sin t=\frac{x}{3};$ $dx=3\cos tdt.$

• $\int \frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=\int \frac{adt}{a{\cos }^{2}t\cdot \tan t\sqrt{a^2{\tan }^{2}t}}=\frac{1}{a}\int \frac{dt}{\sin t}=\frac{1}{a}\ln |\frac{1-\cos t}{\sin t}|+C=$

$=\frac{1}{a}\ln |\frac{1}{\sin t}-\cot t|+C=\frac{1}{a}\ln |\frac{\sqrt{a^2+x^2}-a}{x}|+C,$ kur $x=a\tan t;$ $dx=\frac{a}{{\cos }^{2}t};$ $\tan t=\frac{x}{a};$ $\cot t=\frac{a}{x};$ $\frac{1}{\sin t}=\sqrt{1+{\cot }^{2}t}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}.$