Peržiūrėti šaltinį Geometrinė progresija

[[Vaizdas:Geometric_sequences.svg|dešinėje|miniatiūra|300px|Diagrama, iliustruojanti tris geometrines progresijas, turinčias 6 narius. Pirmasis narys yra vienetas, o brūkšninė linija yra kiekvienos progresijos [[Begalybė|begalinės]] skaičių sekos [[Sudėtis|sumos]] rezultatas, skaičius, prie kurio seka amžinai artės, bet niekada nepasieks. Atitinkamos sekų sumos yra 2, 3/2 ir 4/3.]]
'''Geometrinė progresija''' – [[Skaičius|skaičių]] [[seka]], kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus ([[Koeficientas|koeficiento]], dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus [[0 (skaičius)|nuliui]].<ref>{{vle|geometrine-progresija|2023-02-07|Geometrinė progresija}}</ref>

Skirtingai nei [[aritmetinė progresija|aritmetinės progresijos]], geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

== Apibrėžimas ==
Skaičių seka <math> (a_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> vadinama '''geometrine progresija''', jei tam tikram skaičiui <math> q \ne 0\,</math> tenkinama ši sąlyga:

: <math> \forall_{n \in \mathbb{N}} a_{n+1}=a_n\cdot {q} </math>

Skaičius <math> q \,</math> vadinamas geometrinės sekos vardikliu <math> (a_n)_{n \in \mathbb{N}} </math>.

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys ''a''=''a''<sub>1</sub> ir vardiklis ''q'', tada ''n-asis'' narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

: <math>a_n = a\,q^{n-1}.</math>

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:
* Jei 0 < ''q'' < 1, seka artėja į 0
* Jei ''q'' = 1, sekos riba yra ''a'' (visi sekos nariai yra lygūs)
* Jei ''q'' > 1, seka artėja į [[begalybė|begalybę]]
* Jei 0 > ''q'' > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
* Jei ''q'' = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba ''a'', kito −''a''
* Jei ''q'' < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra <math>\infty</math> (begalybė), kito −<math>\infty</math>

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis ''q'' yra mažesnis už vienetą vadinama ''nykstamąja geometrine progresija''.<ref>Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 104 p. ISBN 5-430-03784-2</ref>

== Pavyzdžiai ==
* Seka <math>(1, 3, 9, 27, 81, 243, \ldots )</math> yra geometrinė seka su vardikliu <math> q = 3, \,</math>
* Seka <math>(1,-2,4,-8,16,-32,64,-128, \ldots)</math> yra geometrinė seka su vardikliu <math> q = -2, \,</math>
* Seka <math>(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\ldots)</math> yra geometrinė seka su vardikliu <math> q = \frac{1}{2}, \,</math>

== Savybės ==
Geometrinės progresijos '''charakteringoji savybė''' – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių [[Geometrinis vidurkis|geometriniam vidurkiui]].<ref>Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 99 p. ISBN 5-430-03932-2</ref>
: <math>\ b^2_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}</math>

== Geometrinės progresijos narių suma ==
Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:
: <math>S_n=\sum_{k=0}^{n-1} aq^k=\frac{a(1-q^n)}{1-q}</math>.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma (&nbsp;|&nbsp;''q''&nbsp;|&nbsp;<&nbsp;1&nbsp;!&nbsp;) yra:
: <math>S=\sum_{k=0}^\infty aq^k=\frac{a}{1-q}</math>.

== Istorija ==
Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš [[Matematika Babilone|Babilono matematikos]] laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.<ref>{{cite book|last=Friberg|first=Jöran|editor1-first=Jöran|editor1-last=Friberg|contribution=MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text|doi=10.1007/978-0-387-48977-3|isbn=978-0-387-34543-7|mr=2333050|pages=150–153|publisher=Springer|location=New York|series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|title=A remarkable collection of Babylonian mathematical texts|year=2007}}</ref>

[[Euklidas Aleksandrietis|Euklido]] [[Pradmenys|''Pradmenų'']] (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.<ref>{{cite book|last=Heath|first=Thomas L.|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl|url-access=registration|edition=2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]|year=1956|publisher=Dover Publications|location=New York}}</ref>

== Šaltiniai ==
{{Išnašos}}

[[Kategorija:Matematika]]