Geometrinė progresija

Diagrama, iliustruojanti tris geometrines progresijas, turinčias 6 narius. Pirmasis narys yra vienetas, o brūkšninė linija yra kiekvienos progresijos begalinės skaičių sekos sumos rezultatas, skaičius, prie kurio seka amžinai artės, bet niekada nepasieks. Atitinkamos sekų sumos yra 2, 3/2 ir 4/3.

Geometrinė progresija – skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (koeficiento, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas

Skaičių seka $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui $q\ne 0$ tenkinama ši sąlyga:

${\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}{a}_{n+1}=a_n\cdot q$

Skaičius $q$ vadinamas geometrinės sekos vardikliu $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a₁ ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

$a_n=a{q}^{n-1}.$

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
• Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei q > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra $\mathrm{\infty }$ (begalybė), kito −$\mathrm{\infty }$

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.

Pavyzdžiai

• Seka $(1,3,9,27,81,243,\dots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q=3,$
• Seka $(1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,\dots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q=-2,$
• Seka $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots )$ yra geometrinė seka su vardikliu $q=\frac{1}{2},$

Savybės

Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}a{q}^k=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

$S=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k=\frac{a}{1-q}$.

Istorija

Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.