Peržiūrėti šaltinį Hamiltonianas (kvantinė mechanika)

{{Šaltiniai}}

'''Hamiltonianas''' [[kvantinė mechanika|kvantinėje mechanikoje]] – energijos [[Operatoriai kvantinėje mechanikoje|operatorius]], kurio [[Tikrinė vertė|tikrinių verčių]] spektras yra sistemos stebimų energijų vertės. Kaip ir [[Hamiltonianas klasikinėje mechanikoje|klasikinis hamiltonianas]], jis žymimas raide H. Kartais, norint pabrėžti, kad tai yra operatorius, jam uždedama „kepurė“ – <math>\hat{H}</math>.

Šis operatorius gaunamas iš [[Hamiltonianas klasikinėje mechanikoje|klasikinio hamiltoniano]], pakeitus [[koordinatė|koordinatę]], bei [[Judesio kiekis|judesio kiekį]] atitinkamais operatoriais iš kvantinės mechanikos. Klasikinis hamiltonianas vienai dalelei:

: <math>H = \frac{p^2}{2m} + U(\vec{r})</math>

Reikia pažymėti, jog <math>p</math> bei <math>\vec{r}</math> bendru atveju yra ne paprastas, bet kanoninis judesio kiekis bei kanoninė koordinatė, kaip ir klasikinėje mechanikoje. Šis skirtumas gali būti svarbus sprendžiant įvairius uždavinius, pavyzdžiui, elektrono judėjimo išoriniame elektromagnetiniame lauke.

Pakeitus judesio kiekį atitinkamu operatoriumi <math>\hat{p} = -i\hbar\nabla </math> gausime:

: <math> \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(\vec{r}) </math>

== Vaidmuo kvantinėje mechanikoje ==

Kaip ir visiems kitiems operatoriams, hamiltonianui galime užrašyti [[Tikrinių verčių lygtis|tikrinių verčių lygtį]]:

: <math> \hat{H} \psi(\vec{r}, t) = E \psi(\vec{r}, t) </math>

Radę tikrines vertes <math>E_n</math>, bei jas atitinkančias tikrines funkcijas <math>\psi_n</math>, rastume sistemos būsenas esant šioms energijoms. Nagrinėjant apribotas daleles tai atitiktų energijos kvantavimą.

Hamiltonianas yra ypatingas operatorius tuo, kad figūruoja [[Šredingerio lygtis|Šredingerio lygtyje]]:

: <math> \hat{H} \psi(\vec{r}, t) = i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r}, t) </math>

Stacionariu atveju ji virsta anksčiau nagrinėta energijos tikrinių verčių lygtimi.

Visi operatoriai komutuojantys su hamiltonianu išreiškia tvarius dydžius, t. y. [[Judėjimo integralas|judėjimo integralus]].

== Hamiltonianas elektronui vandenilio atome ==
{{main|Vandeniliškasis atomas}}

Jei susietume [[protonas|protoną]] su koordinačių sistemos pradžia, bei laikytume, kad jo masė begalinė, t. y. jis nejuda, hamiltonianas būtų užrašomas taip:

: <math> \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^2} </math>.

Čia:

* <math>m_e</math> – [[elektronas|elektrono]] [[masė]],
* e – elektrono [[krūvis]],
* <math>\epsilon_0</math> – [[elektrinė konstanta]],
* <math> \hbar</math> – [[Planko konstanta|redukuota Planko konstanta]].


Antrasis išraiškos narys yra elektrono [[potencinė energija]] protono [[Elektrinis laukas|elektriniame lauke]].

Įsistačius šią išraišką į Šredingerio lygtį gautume [[diferencialinė lygtis|diferencialinę lygtį]], aprašančią [[Vandenilis|vandenilio atomą]]. Ją dar pasiseka išspręsti analiziškai, nors sprendiniai yra gana sudėtingi – Gauso-Ermito, Ležandro, bei Legero polinomai. Iš šių sprendinių išplaukia energijos lygmenų kvantavimas, elektrono [[Orbitalė|orbitalių]] formos ir kita informacija.

== Taip pat skaitykite ==

* [[Operatoriai kvantinėje mechanikoje]]
* [[Šredingerio lygtis]]
* [[Vandeniliškasis atomas]]

[[Kategorija:Kvantinė mechanika]]