Hamiltonianas (kvantinė mechanika)

Hamiltonianas kvantinėje mechanikoje – energijos operatorius, kurio tikrinių verčių spektras yra sistemos stebimų energijų vertės. Kaip ir klasikinis hamiltonianas, jis žymimas raide H. Kartais, norint pabrėžti, kad tai yra operatorius, jam uždedama „kepurė“ – $\hat{H}$.

Šis operatorius gaunamas iš klasikinio hamiltoniano, pakeitus koordinatę, bei judesio kiekį atitinkamais operatoriais iš kvantinės mechanikos. Klasikinis hamiltonianas vienai dalelei:

$H=\frac{p^2}{2m}+U(\overrightarrow{r})$

Reikia pažymėti, jog $p$ bei $\overrightarrow{r}$ bendru atveju yra ne paprastas, bet kanoninis judesio kiekis bei kanoninė koordinatė, kaip ir klasikinėje mechanikoje. Šis skirtumas gali būti svarbus sprendžiant įvairius uždavinius, pavyzdžiui, elektrono judėjimo išoriniame elektromagnetiniame lauke.

Pakeitus judesio kiekį atitinkamu operatoriumi $\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ gausime:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(\overrightarrow{r})$

Vaidmuo kvantinėje mechanikoje

Kaip ir visiems kitiems operatoriams, hamiltonianui galime užrašyti tikrinių verčių lygtį:

$\hat{H}\psi (\overrightarrow{r},t)=E\psi (\overrightarrow{r},t)$

Radę tikrines vertes $E_n$, bei jas atitinkančias tikrines funkcijas ${\psi }_n$, rastume sistemos būsenas esant šioms energijoms. Nagrinėjant apribotas daleles tai atitiktų energijos kvantavimą.

Hamiltonianas yra ypatingas operatorius tuo, kad figūruoja Šredingerio lygtyje:

$\hat{H}\psi (\overrightarrow{r},t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\overrightarrow{r},t)$

Stacionariu atveju ji virsta anksčiau nagrinėta energijos tikrinių verčių lygtimi.

Visi operatoriai komutuojantys su hamiltonianu išreiškia tvarius dydžius, t. y. judėjimo integralus.

Hamiltonianas elektronui vandenilio atome

Jei susietume protoną su koordinačių sistemos pradžia, bei laikytume, kad jo masė begalinė, t. y. jis nejuda, hamiltonianas būtų užrašomas taip:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{r^2}$.

Čia:

• $m_e$ – elektrono masė,
• e – elektrono krūvis,
• ${ϵ}_0$ – elektrinė konstanta,
• $\hslash$ – redukuota Planko konstanta.

Antrasis išraiškos narys yra elektrono potencinė energija protono elektriniame lauke.

Įsistačius šią išraišką į Šredingerio lygtį gautume diferencialinę lygtį, aprašančią vandenilio atomą. Ją dar pasiseka išspręsti analiziškai, nors sprendiniai yra gana sudėtingi – Gauso-Ermito, Ležandro, bei Legero polinomai. Iš šių sprendinių išplaukia energijos lygmenų kvantavimas, elektrono orbitalių formos ir kita informacija.

Taip pat skaitykite

• Operatoriai kvantinėje mechanikoje
• Šredingerio lygtis
• Vandeniliškasis atomas