Peržiūrėti šaltinį Neapibrėžtinis integralas

Iš [[Pirmykštė funkcija|pirmykštės funkcijos]] apibrėžimo aišku, kad, jei [[Funkcija (matematika)|funkcija]] bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų [[aibė]] <math> \lbrace F(x) + C \; | \; C \in (-\infty, +\infty) \rbrace </math> vadinama '''neapibrėžtiniu integralu''' ir žymima:

: <math>\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C. </math>

Čia:
* <math>x</math> - integravimo kintamasis;
* <math>f(x)</math> – pointegralinė [[Funkcija (matematika)|funkcija]];
* <math>dx</math> - integravimo kintamojo [[diferencialas]];
* <math>f(x)dx</math> – pointegralinis reiškinys;
* <math>F(x)</math> – kuri nors funkcijos <math>f(x)</math> viena iš [[Pirmykštė funkcija|pirmykščių funkcijų]];
* <math>C</math> – integravimo [[konstanta]].

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias [[Diferencialas|diferenciavimui]]: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

== Istorija ==
Neapibrėžtinį integralą 1694 m. apibrėžė [[Gottfried Leibniz|G. V. Leibnicas]] pirmą kartą panaudojęs laisvąją konstantą C.<ref>{{vle|neapibreztinis-integralas|2024-02-05|neapibrėžtinis integralas|Juozas Raulynaitis}}</ref>

== Savybės ==
Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:
# <math> \left( \int f(x)\mathsf{d}x \right) ' = f(x); </math>
# <math> \mathsf{d}\int f(x)\mathsf{d}x = f(x)\mathsf{d}x; </math>
# <math> \int \mathsf{d}F(x) = F(x) + C; </math>
# <math> \int (f(x) + g(x))\mathsf{d}x = \int f(x)\mathsf{d}x + \int g(x)\mathsf{d}x. </math>

== Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė ==
* <math>\int 0 \cdot dx=C </math>
* <math>\int 1 \cdot dx=x+C </math>
* <math>\int x^m \; dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C </math>
* <math>\int \frac{1}{x} \; dx=\ln|x|+C </math>
* <math>\int a^x \; dx=\frac{a^x}{\ln a}+C </math>
* <math>\int e^x \; dx=e^x+C </math>
* <math>\int \sin x \; dx=-\cos x+C </math>
* <math>\int \cos x \; dx=\sin x+C </math>
* <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin x+C=-\arccos x+C </math>
* <math>\int \frac{dx}{1-x^2} =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C</math>

== Pavyzdžiai ==

<math>\int 2x \; \mathsf{d}x =2\int x \; \mathsf{d}x=2 \frac{x^{1+1}}{1+1}+C = x^2 + C</math>, nes <math>\left(x^2 + C\right)' = 2x + 0 = 2x</math>.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):


* <math> \int  \frac{\mathsf{d}x}{x^2-9} = \frac{1}{6} \ln  \frac{x-3}{x+3} + C. </math>


* <math>\int \frac{\cos x \; \mathsf{d}x}{\sqrt{2 + \cos 2x } }=\int{\cos x\;dx\over \sqrt{2+1-2\sin^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \int{d(\sqrt{2}\sin x)\over \sqrt{3-2\sin^2 x}}= \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3}} + C. </math>
* <math>\int \frac{\mathsf{d}x}{\sqrt{{\left(9 - x^2\right)}^3}} = \frac{x}{9 \sqrt{9 - x^2}} + C. </math>

== Taip pat skaitykite ==
* [[Apibrėžtinis integralas]]
* [[Integralų lentelė]]
* [[Integravimo metodai]]
* [[Integravimas keičiant kintamąjį]]
* [[integravimas dalimis]]
* [[Racionaliųjų funkcijų integravimas]]
* [[Iracionaliųjų funkcijų integravimas]]
* [[Trigonometrinių funkcijų integravimas]]

== Šaltiniai ==
{{Išnašos}}

== Nuorodos ==
* [http://www.integrals.com Integratorius] ''(Wolfram Research)''

[[Kategorija:Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas]]

[[fr:Primitive (mathématiques)]]