Neapibrėžtinis integralas

Iš pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė $\{F(x)+C|C\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\}$ vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima:

$\int f(x)𝖽x=F(x)+C.$

Čia:

• $x$ - integravimo kintamasis;
• $f(x)$ – pointegralinė funkcija;
• $dx$ - integravimo kintamojo diferencialas;
• $f(x)dx$ – pointegralinis reiškinys;
• $F(x)$ – kuri nors funkcijos $f(x)$ viena iš pirmykščių funkcijų;
• $C$ – integravimo konstanta.

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

Istorija

Neapibrėžtinį integralą 1694 m. apibrėžė G. V. Leibnicas pirmą kartą panaudojęs laisvąją konstantą C.

Savybės

Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:

1. $(\int f(x)𝖽x)=f(x);$
2. $𝖽\int f(x)𝖽x=f(x)𝖽x;$
3. $\int 𝖽F(x)=F(x)+C;$
4. $\int (f(x)+g(x))𝖽x=\int f(x)𝖽x+\int g(x)𝖽x.$

Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė

• $\int 0\cdot dx=C$
• $\int 1\cdot dx=x+C$
• $\int x^{m}dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C$
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C$
• $\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+C$

Pavyzdžiai

$\int 2x𝖽x=2\int x𝖽x=2\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=x^2+C$, nes $(x^2+C)=2x+0=2x$.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):

• $\int \frac{𝖽x}{x^2-9}=\frac{1}{6}\ln \frac{x-3}{x+3}+C.$

• $\int \frac{\cos x𝖽x}{\sqrt{2+\cos 2x}}=\int \frac{\cos xdx}{\sqrt{2+1-2{\sin }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}\sin x)}{\sqrt{3-2{\sin }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin \frac{\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{3}}+C.$
• $\int \frac{𝖽x}{\sqrt{{(9-x^2)}^3}}=\frac{x}{9\sqrt{9-x^2}}+C.$

Taip pat skaitykite

• Apibrėžtinis integralas
• Integralų lentelė
• Integravimo metodai
• Integravimas keičiant kintamąjį
• integravimas dalimis
• Racionaliųjų funkcijų integravimas
• Iracionaliųjų funkcijų integravimas
• Trigonometrinių funkcijų integravimas

Nuorodos

• Integratorius (Wolfram Research)