Vektorinė sandauga

Dviejų vektorių vektorinė sandauga dešiniosios rankos koordinačių sistemoje

Vektorinė sandauga (Šablonas:En) – dvinarė vektorių operacija.

Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius $𝐚\times 𝐛$, kurio ilgis yra |a||b|sin φ, o kryptis statmena plokštumai α taip, kad, žiūrint iš vektoriaus $𝐚\times 𝐛$ galo, vektorius a sukamas kampu φ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriumi b.

Apibrėžimas

Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:

1. $𝐜\perp 𝐚$ ir $𝐜\perp 𝐛$, t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
2. Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y $|𝐜|=|𝐚||𝐛|\sin \mathrm{\angle }(𝐚,𝐛)$;
3. Vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima $𝐜=𝐚\times 𝐛$ arba c = [a, b].

Dešiniosis rankos taisyklės taikymas vektoriaus c krypčiai nustatyti

Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus a kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus b kryptimi, nykštys rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveiksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

$𝐢\times 𝐣=𝐤;$

$𝐣\times 𝐤=𝐢;$

$𝐤\times 𝐢=𝐣.$

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu $𝐚(a_x,a_y,a_z)$ ir $𝐛(b_x,b_y,b_z)$, tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

$𝐚\times 𝐛=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_y{b}_z-a_z{b}_y;-(a_x{b}_z-a_z{b}_x);a_x{b}_y-a_y{b}_x)$

Savybės

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

1. Antikomutatyvumas, t.y $𝐚\times 𝐛=-𝐛\times 𝐚$;
2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y $\lambda (𝐚\times 𝐛)=(\lambda 𝐚)\times 𝐛=𝐚\times (\lambda 𝐛)$
3. Distributyvumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y $(𝐚+𝐛)\times 𝐜=𝐚\times 𝐜+𝐛\times 𝐜$
4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra kolinearūs, t.y $𝐚\times 𝐛=\mathrm{𝟎}$ kai a || b
5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y $𝐚\times (𝐛\times 𝐜)+𝐛\times (𝐜\times 𝐚)+𝐜\times (𝐚\times 𝐛)=\mathrm{𝟎}.$

Taikymai

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

$S_{lyg}=|𝐚\times 𝐛|$

$S_{tr}=\frac{1}{2}|𝐚\times 𝐛|$

Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės h_a, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

$h_a=\frac{|𝐚\times 𝐛|}{|𝐚|}$

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternijonų daugyba.