Determinantas

Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas, o apie kalbos dalį - determinatyvas (gramatika)

Kvadratinės matricos determinantas – algebrinė suma visų galimų sandaugų, gautų parenkant po vieną dauginamąjį iš kiekvienos matricos eilutės taip, kad dauginamieji priklausytų skirtingiems stulpeliams.^[1] Determinantai svarbūs integriniame ir diferenciniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto $n \times n$ formulė yra tokia:

d e t (A) = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum_{i = 1}^{n!} (- 1)^{p (i)} \cdot a_{1 k_{i 1}} a_{2 k_{i 2}} \dots a_{n k_{i n}}

kur

$| A |$ ir $d e t (A)$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

turi determinantą

\det (A) = a d - b c

.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

{\begin{matrix} a_{11} x + a_{12} y = c_{1}, \\ a_{21} x + a_{22} y = c_{2} . \end{matrix}

Surandamas determinantas:

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

x = \frac{D_{x}}{D},

y = \frac{D_{y}}{D},

kur

D_{x} = | \begin{matrix} c_{1} & a_{12} \\ c_{2} & a_{22} \end{matrix} |,

D_{y} = | \begin{matrix} a_{11} & c_{1} \\ a_{21} & c_{2} \end{matrix} | .

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet $D_{x}$ arba $D_{y}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei $D = D_{x} = D_{y} = 0$ , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{\begin{matrix} x + 2 y = 8, \\ 3 x - y = 3 . \end{matrix}

Sistemos determinantas yra

D = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix} | = 1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2 = - 7;

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

D_{x} = | \begin{matrix} 8 & 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix} | = - 8 - 6 = - 14;

Panašiai randamas

D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 8 \\ 3 & 3 \end{matrix} | = 3 - 24 = - 21;

x = D_{x} / D = - 14 / (- 7) = 2;

y = D_{y} / D = - 21 / (- 7) = 3 .

Determinantas 3 $\times$ 3

$d e t A = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | =$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = c_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = c_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = c_{3} \end{matrix}

sprendinius:

x_{1} = \frac{D_{1}}{D},

x_{2} = \frac{D_{2}}{D},

x_{3} = \frac{D_{3}}{D},

kur

D_{1} = | \begin{matrix} c_{1} & a_{12} & a_{13} \\ c_{2} & a_{22} & a_{23} \\ c_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |,

D_{2} = | \begin{matrix} a_{11} & c_{1} & a_{13} \\ a_{21} & c_{2} & a_{23} \\ a_{31} & c_{3} & a_{33} \end{matrix} |,

D_{3} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & c_{1} \\ a_{21} & a_{22} & c_{2} \\ a_{31} & a_{32} & c_{3} \end{matrix} | .

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

{\begin{matrix} 2 x_{1} - 3 x_{2} - x_{3} = 7, \\ 3 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} = 3, \\ - 3 x_{1} - x_{2} + - 3 x_{3} = 5 . \end{matrix}

D = d e t A = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 3 & 1 \\ - 3 & 4 \end{matrix} | = 15;

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

D_{1} = | \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 5 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ - 5 & 10 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = (- 1) \cdot (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} - 5 & 10 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = 15;

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

D_{2} = | \begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 3 & - 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 15 & - 5 & 6 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = (- 1) \cdot (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} 15 & - 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = - 30;

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

D_{3} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & - 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 8 & 4 \end{matrix} | = 0;

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

x_{1} = \frac{D_{1}}{d e t A} = \frac{15}{15} = 1; x_{2} = \frac{D_{2}}{d e t A} = \frac{- 30}{15} = - 2; x_{3} = \frac{D_{3}}{d e t A} = \frac{0}{15} = 0 .

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

d e t A = | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix} | = 2 \cdot (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = - 6 = 0;

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

A_{11} = (- 1)^{1 + 1} | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = - 6; A_{12} = (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = - 2;

A_{13} = (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = 0; A_{21} = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = 3;

A_{22} = (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 2; A_{23} = (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = - 3;

A_{31} = (- 1)^{3 + 1} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = 0; A_{32} = (- 1)^{3 + 2} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = - 2;

A_{33} = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | = 0;

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot | \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix} | = \frac{1}{- 6} \cdot | \begin{matrix} - 6 & 3 & 0 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ 0 & - 3 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix} | .

Išspręsime sistemą

{\begin{matrix} 3 x_{1} + 5 x_{2} - 2 x_{3} = 2, \\ x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 10, \\ 6 x_{1} + 7 x_{2} - 3 x_{3} = 5 \end{matrix}

matricų metodu.

$A = [\begin{matrix} 3 & 5 & - 2 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 6 & 7 & - 3 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}]; X = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}];$

$X = A^{- 1} \cdot B; A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix}];$

$d e t A = | \begin{matrix} 3 & 5 & - 2 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 6 & 7 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 14 & - 8 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 25 & - 15 \end{matrix} | = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 14 & - 8 \\ 25 & - 15 \end{matrix} | = - 2 \cdot 5 | \begin{matrix} 7 & - 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix} | = 10 = 0;$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

A_{11} = (- 1)^{1 + 1} | \begin{matrix} - 3 & 2 \\ 7 & - 3 \end{matrix} | = - 5; A_{21} = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 5 & - 2 \\ 7 & - 3 \end{matrix} | = 1; A_{31} = | \begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 3 & 2 \end{matrix} | = 4;

A_{12} = - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 6 & - 3 \end{matrix} | = 15; A_{22} = (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 6 & - 3 \end{matrix} | = 3; A_{32} = - | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = - 8;

A_{13} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 6 & 7 \end{matrix} | = 25; A_{23} = (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 3 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix} | = 9; A_{33} = | \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix} | = - 14;

A^{- 1} = \frac{1}{10} [\begin{matrix} - 5 & 1 & 4 \\ 15 & 3 & - 8 \\ 25 & 9 & - 14 \end{matrix}];

X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix} - 5 & 1 & 4 \\ 15 & 3 & - 8 \\ 25 & 9 & - 14 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 70 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{matrix});

x_{1} = 2;

x_{2} = 2;

x_{3} = 7 .

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

{\begin{matrix} 3 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = - 8, \\ 2 x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} = 26, \\ x_{1} - 3 x_{2} + 8 x_{3} = - 25 . \end{matrix}

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

A = [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 3 & - 2 & 4 & | - 8 \\ 2 & 7 & - 5 & | 26 \end{matrix}] =

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos $A^{}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 7 & - 20 & | 67 \\ 0 & 13 & - 21 & | 76 \end{matrix}] =

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 7 & - 20 & | 67 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \end{matrix}] =

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 0 & 113 & | - 339 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \end{matrix}] =

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \\ 0 & 0 & 113 & | - 339 \end{matrix}] .

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

{\begin{matrix} x_{1} - 3 x_{2} + 8 x_{3} = - 25, \\ - x_{2} + 19 x_{3} = - 58, \\ 113 x_{3} = - 339 . \end{matrix}

Iš paskutinės lygties

x_{3} = \frac{- 339}{113} = - 3 .

Iš antros lygties surandame

x_{2} = 58 + 19 x_{3} = 58 - 57 = 1 .

Iš pirmos lygties randame

x_{1} = - 25 + 3 x_{2} - 8 x_{3} = - 25 + 3 + 24 = 2 .

Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

D = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 1} \cdot 2 \cdot | \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 3 & - 4 \\ - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | + (- 1)^{3 + 3} \cdot 1 \cdot | \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & - 4 \\ 1 & - 5 & - 3 \end{matrix} | +

$+ (- 1)^{3 + 4} \cdot (- 1) \cdot | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ - 5 & 1 & 3 \\ 1 & - 5 & 3 \end{matrix} | = 2 \cdot 16 - 40 + 48 = 40 .$ Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.

Šaltiniai

Šablonas:Išnašos

Šablonas:Mat-stub

↑ Šablonas:Vle

[1] Šablonas:Vle

[1]

Determinantas

Turinys

Antros eilės determinantas

Determinantas 3 $\times$ 3

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Ketvirtos eilės determinantas

Šaltiniai

Naršymo meniu

Determinantas

Antros eilės determinantas

Determinantas 3 × 3

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Ketvirtos eilės determinantas

Šaltiniai

Naršymo meniu

Paieška

Determinantas 3 $\times$ 3