Variacija (matematika)

Variaciaja (Šablonas:La - kitimas) – diferencialo sąvokos apibendrinimas; funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Jei funkcijos F(x) (x – abstrakčios erdvės elementas) pokytis yra ΔF(x) = А(x+h)-F(x) = L(x, h)+β(x, h), tai L(x, h) = δF(x) vadinama funkcijos F(x) variacija; L(x, h) tiesiškai priklauso nuo h, β(x, h) artėja į nulį greičiau negu h. Naudojimosi variacija sritys: variacinis skaičiavimas, optimaliojio valdymo teorija, netiesinių lygčių sprendimas. Variacija apskaičiuojama dažniausiai pagal formulę

$\delta F(x)=\frac{d}{d\alpha }F(x+\alpha h){|}_{\alpha =0}$

čia α – skaičius.

Variacijos sąvoką apie 1760 m. pradėjo vartoti Žozefas Lui Lagranžas spręsdamas uždavinius, kuriais ieškoma funkcionalo minimalioji arba maksimalioji reikšmė, šiandien tokie uždaviniai sudaro matematikos sritį – variacinį skaičiavimą.

Pavyzdys

Funkcija

$F(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t,x,x^{\prime })dx$

jos variacija

$\delta F(x)=\frac{d}{d\alpha }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t,x(t)+\alpha h(t),x^{\prime }(t)+\alpha h^{\prime }(t))dt{|}_{\alpha =0}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[{f_x}^{\prime }\right(t,x(t),x^{\prime }(t))h(t)+f_{x^{\prime }}(t,x(t),x^{\prime }(t))h^{\prime }(t)]dt$

Variaciniai metodai

Variaciniai metodai apytiksliai diferencinių lygčių kraštinių uždavinių sprendimo metodai: kraštinis uždavinys pakeičiamas ekvivalenčiu variaciniu uždaviniu. Pirmasis variacinis metodas buvo Oilerio laužčių metodas. XX a. pr. sukurti Rico ir Galiorkino metodai. Dažnai naudojamasi apibendrintais variaciniais skirtuminiais metodais.

Pvz., kraštinis uždavinys Puasono lygčiai pakeičiamas tokiu variaciniu uždaviniu: rasti funkciją u(x, y), su kuria funkcija įgyja mažiausią reikšmę (minimumą).

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=f(x,y),(x,y)\in D,u{|}_{\mathrm{\Gamma }}=0$

(Γ – srities D kontūras)

$J(u)=\underset{D}{\iint }\left[\right(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial u}{\partial y}{)}^2+2fu]dxdy$

Galima imti ir kitokias funkcijos J(u) išraiškas. Variacinis uždavinys sprendžiamas vienu tiesioginių metodų, pvz., Rico metodu. Dažniausiai sprendinys užrašomas apytiksle formule

$u_n(x,y)=\sum _{i=1}^n{a}_i{\phi }_i(x,y)$

čia φ_i – žinomos funkcijos, a_i – nežinomi koeficientai, randami sprendžiant n eilės algebrinių lygčių sistemą.