Diferencialas

Funkcijos $f(x)$ diferencialas taške $x_0$.

Diferencialas – funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojama taške x ${}_{\in }$(a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Direfencialas žymimas: $dy=d(f(a))=f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x$, iš to seka, kad funkcijos pokytis Δy mažai skiriasi nuo jos diferencialo:

$\mathrm{\Delta }y\approx \mathrm{\Delta }y$

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x². Tos funkcijos išvestinė yra $\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=$ $=\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=2x+\mathrm{\Delta }x$

$y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(2x+\mathrm{\Delta }x)=2x.$

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)²=6Δx + (Δx)²,

čia A = 2x = 6 = f'(x); (Δx)² = o(Δx).

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) – f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y’dx = f'(x)dx; Δx = dx.

Diferencijuojamumui būtina sąlyga yra funkcijos tolydumas. Tačiau ne visos tolydžios funkcijos yra diferencijuojamos. Kaip vienas iš tokių nediferencijuojamų funkcijų pavyzdžių yra Vejerštraso funkcija.

Taip pat skaitykite

• Integralas
• Homogeninės diferencialinės lygtys
• Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygtys
• Bernulio diferencialinė lygtis
• Pilnųjų diferencialų integravimas