Pirminio skaičiaus teorema

Pirminių skaičių teoremos iliustracija: raudonai atvaizduotas pirminių skaičių skaičius mažesnis arba lygus už x, žalia spalva - aproksimacija naudojant $\frac{x}{\ln x}$, mėlyna spalva - apytikslis skaičiavimas naudojant logaritminį integralą $\mathrm{Li}(x)$.

Pirminio skaičiaus teorema – skaičių teorijos teorema, aprašanti asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių. Teorema, naudodama logaritmus, apytiksliai apibūdina, kaip toli vidutiniškai yra vienas nuo kito dideli pirminiai skaičiai:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1,$

čia $\pi (x)=\sum _{p⩽x}1$ - funkcija, kuri nurodo, kiek yra pirminių skaičių ne didesnių už realųjį teigiamą skaičių x. O trupmena $\frac{x}{\ln (x)}$ apytiksliai išreiškia funkcijos $\pi (x)$ didėjimą, tai parodo Čebyšovo nelygybė.

Istorija

Ryšį tarp pirminių skaičių ir logaritmų 1792 m. nuspėjo 15-metis Karlas Frydrichas Gausas m., o nepriklausomai nuo jo - Adrien-Marie Legendre 1798 m., nors įrodymas buvo pateiktas tik 1896 m. Jacques Hadamard ir Charles-Jean de La Vallée Poussin (nepriklausomai vienas nuo kito).