Logaritmas

Matematikoje skaičiaus logaritmas (Šablonas:Gr – santykis + Šablonas:Gr – skaičius) – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti kitą fiksuotą skaičių (pagrindą), kad būtų gautas tas skaičius.^[1] Logaritmas yra atvirkštinė pagrindo kėlimo laipsniu funkcija. Veiksmas, kuriuo randamas skaičiaus logaritmas vadinamas logaritmavimu, o priešingas veiksmas vadinamas potencijavimu arba antilogaritmavimu.^[2]

Pavyzdžiui, 1000 logaritmas pagrindu 10 yra 3, nes 10 pakėlus 3 laipsniu gaunamas 1000: Šablonas:Nowrap. Bendru atveju, bet kuriems dviem realiems skaičiams b ir x, kur b yra teigiamas ir b ≠ 1,

y = b^{x} \Leftrightarrow x = \log_{b} (y)

Logaritmas, kurio pagrindas skaičius 10, yra vadinamas dešimtainiu logaritmu ir yra taikomas inžinerijoje. Logaritmas pagrindu e (≈ 2,718Šablonas:Nowrap end) yra vadinamas natūriniu logaritmu ir yra plačiai naudojamas grynojoje matematikoje, ypač integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime. Dvejetainis logaritmas naudoja pagrindą 2 Šablonas:Nowrap begin(b = 2)Šablonas:Nowrap end, naudojamas kompiuterių moksle.

Logaritmus atrado ir tyrė jų savybes škotų matematikas Džonas Neperis 1614 m.,^[3] jis taip pat sukūrė „Nepero lazdeles“, kurios palengvino logaritmų skaičiavimą.^[4] Šiuolaikinį logaritmų žymėjimą įvedė XVIII a. Leonardas Euleris.

Praktiniams logaritmų skaičiavimams ilgą laiką buvo plačiai naudojama logaritminė liniuotė, kurią ilgainiui pakeitė šiuolaikiniai skaičiuotuvai.^[5]

Veiksmai su logaritmais

Logaritmų sudėties pakeitimas sandauga

$l o g_{b} (x) + l o g_{b} (y)$ yra lygus $l o g_{b} (x y)$

Pavyzdžiui: $l o g_{2} (4) + l o g_{2} (8) = l o g_{2} (4 * 8) = l o g_{2} (32) = 5$

Įrodymas: $l o g_{2} (4) = 2$ ,o $l o g_{2} (8) = 3$ , taigi 2+3=5.;

Logaritmų atimties pakeitimas dalyba

Logaritmų atimtis yra priešingas veiksmas sudėčiai, todėl pologaritminius reiškinius (pažymėta raide 'X') reikės dalinti.

Pavyzdžiui: $l o g_{2} (8) - l o g_{2} (4)$ . Šis reiškinys bus lygus $l o g_{2} (8 / 4)$ , taigi jis lygus $l o g_{2} (2) = 1$ .

Įrodymas: 3-2=1.

Pastaba: logaritmo pagrindas (pažymėta raide b) turi būti didesnis už nulį ir nelygus 1, o pologaritminis reiškinys (X) didesnis už 0.

Logaritmų savybės

$a^{\log_{a} b} = b$
$\log_{10} a = \lg a$
$\log_{e} a = \ln a$
$\ln 1 = 0$
$\log_{a} 1 = 0$
$\log_{a} a = 1$
$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$
$\log_{a} (x^{k}) = k \cdot \log_{a} x$
$\log_{a} x = \frac{\log_{c} x}{\log_{c} a}$ – pagrindų keitimo formulė.
$\log_{a^{n}} x^{n} = \log_{a} x$
$\log_{a^{n}} x = \frac{1}{n} \log_{a} x$
$\log_{a^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} x$

Pavyzdžiu patvirtinsime šitą formulę:

\log_{a} x = \frac{\log_{c} x}{\log_{c} a} .

\log_{2} 256 = \log_{2} 2^{8} = 8;

\frac{\log_{4} 256}{\log_{4} 2} = \frac{\log_{4} 4^{4}}{\log_{4} 4^{\frac{1}{2}}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8;

čia a=2, x=256, c=4.

Šaltiniai

Šablonas:Išnašos

Šablonas:Mat-stub Šablonas:Commons Šablonas:Vikižodynas

↑ Šablonas:Vle
↑ Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 115 p. ISBN 5-430-03932-2
↑ GRIGAS, Jonas. Kiek trunka sekundė. Vilnius: Tyto alba, 2011, 124 p. ISBN 978-9986-16-868-3.
↑ BALTRŪNAS, Aleksandras. Nuo nulio iki…. Vilnius: Vyturys, 1991, 142 p. ISBN 5-7900-0178-5.
↑ Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 40 p. ISBN 5-430-03784-2

[1] Šablonas:Vle

[2] Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 115 p. ISBN 5-430-03932-2

[3] GRIGAS, Jonas. Kiek trunka sekundė. Vilnius: Tyto alba, 2011, 124 p. ISBN 978-9986-16-868-3.

[4] BALTRŪNAS, Aleksandras. Nuo nulio iki…. Vilnius: Vyturys, 1991, 142 p. ISBN 5-7900-0178-5.

[5] Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 40 p. ISBN 5-430-03784-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Logaritmas

Veiksmai su logaritmais

Logaritmų savybės

Šaltiniai

Naršymo meniu

Paieška