Algebrinė struktūra

Šablonas:Šaltiniai+ Algebrinė struktūra - aibė, kurioje yra apibrėžta viena arba kelios algebrinės operacijos. Algebrinės struktūros yra žymimos kortežais:

$(S,\ast ,\dots )$ 

kur $S$ yra aibė, $\ast$ yra kompozicijos dėsnis, kurio tiksli išraiška yra apibrėžiama kiekvienu konkrečiu atveju.

Pagrindinės algebrinės struktūros

Grupoidas

Šablonas:Plačiau Grupoidas - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas vienas uždaras kompozicijos dėsnis. Daugiau jokių sąlygų grupoidui nėra - net asociatyvumo sąlygos.

Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibė su atimties kompozicija

$(ℝ,-)$

yra grupoidas, nes atimties operacija nėra asociatyvi:

$(a-b)-c\ne a-(b-c)$,
$a,b,c\in ℝ$.

Pusgrupė

Šablonas:Plačiau Pusgrupė - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas uždaras asociatyvus kompozicijos dėsnis.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė be nulio sudėties atžvilgiu

$({\mathbb{N}}^{+},+)$

yra pusgrupė, nes sudėties operacija yra asociatyvi:

$(a+b)+c=a+(b+c)$,
$a,b,c\in {\mathbb{N}}^{+}$,

ir ši struktūra neturi neutralaus elemento.

Monoidas

Šablonas:Plačiau Monoidas – pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

$a+e=e+a=a$

Čia $e$ yra neutralus elementas.

Grupė

Šablonas:Plačiau Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

$a+a^{-1}=a^{-1}+a=e$

Čia $a^{-1}$ elementas atvirkštinis $a$.

Abelio grupė

Šablonas:Plačiau Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

$a+b=b+a$

Čia $a,b$ – aibės elementai.

Žiedas

Šablonas:Plačiau Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais ($+,\cdot$). Pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio ($\cdot$) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

$(a+b)\cdot c=b\cdot c+a\cdot c$

Čia $a,b,c$ aibės elementai.

Kūnas

Šablonas:Plačiau Kūnas (Šablonas:En) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio ($\cdot$) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus „0 “– pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas

Šablonas:Plačiau Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis ($\cdot$) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.