Darbu sumos

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos, naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas, kurio apibrėžimas lengvai išplečiamas iki Rymano-Stieltjeso integralo. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

Apatinė Darbu suma

Vaizdas:Darbu apatine suma.png

Geometrinė apatinės Darbu sumos interpretacija.

Tegul funkcija $f(x)$ apibrėžta intervale $[a;b]$. Šis intervalas suskaidomas tokiu būdu:

$a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$

Gautų intervalų ilgiai žymimi $\delta x_i=x_i-x_{i-1}$. Jų iš viso yra $n$. Ilgiausio gabaliuko ilgis žymimas $\mathrm{\Delta }$.

Toks intervalo skaidinys vadinamas $T$. Apibrėžiami tokie taškai:

$m_i=\underset{[x_{i-1};x_i]}{\inf }f(x)$

T. y., kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandama mažiausia funkcijos reikšmė. Sudaroma tokia suma:

$s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$.

Ši suma ir vadinama apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio $T$ funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidomas intervalas $[a;b]$. Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidomas intervalas, t. y. nuo $T$.

Viršutinė Darbu suma

Vaizdas:Darbu virsutine suma.png

Geometrinė viršutinės Darbu sumos interpretacija.

Viršutinė Darbu sumą apibrėžiama labai panašiai. Intervalas $[a;b]$ skaidomas tokiu pat būdu ir pasirenkami tokie taškai:

$M_i=\underset{[x_{i-1};x_i]}{\sup }f(x)$

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudaroma suma

$S(T)=\sum _{mn=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$.

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo $T$. Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Darbu sumų savybės

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

• $S(T_1)\ge s(T_2)\mathrm{\forall }{T}_1,T_2$, t. y., kad ir kaip bebūtų skaidomas intervalas, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
• Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

$\underset{\_}{I}=\underset{T}{\sup }s(T)$ – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.

$\bar{I}=\underset{T}{\inf }S(T)$ – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

• $\underset{\_}{I}\le \bar{I}$
• $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{\lim }s(T)=\underset{\_}{I}$ ir $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{\lim }S(T)=\bar{I}$, t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.

Nuorodos

• Darboux Integral