Dinamika (mechanika)

Šablonas:Šaltiniai Dinamika – mechanikos dalis, kurioje nagrinėjamos kūnų judėjimo greičio kitimo priežastys. Pagrindiniai klasikinės dinamikos principai buvo suformuluoti tik 1687 m., kai pasirodė garsus Niutono dėsnių veikalas „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai).

Klasikinės ir reliatyviosios mechanikos dėsniai sutampa tik tada, kai materialių taškų greičiai daug mažesni už šviesos greitį vakuume.

Jėga

Jėga – vektorinis dydis, kuriuo matuojamas mechaninis poveikis arba kūnų sąveika. Jėga matuojama niutonais ($[\overrightarrow{F}]=1N$). Jėgos pagal poveikio sritį skirstomos į išorines ir vidines. Išorinių jėgų priežastis nėra nagrinėjamai sistemai priklausančių kūnų sąveikos padarinys. Jei išorinių jėgų atstojamoji lygi 0, tai tokia sistema vadinama inertine.

Masė

Masė – skaliarinis dydis, inertiškumo matavimo vienetas. Kuo kūno masė didesnė, tuo jis inertiškesnis. Pavyzdžiui, sunkvežimis yra inertiškesnis nei lengvasis automobilis, nes jo masė didesnė. SI sistemoje masė matuojama kilogramais ($[m]=1kg$). Egzistuoja kitokios matavimo sistemos ir matavimo vienetai. Praktikoje dažnai naudojami kartotiniai masės matavimo vienetai:

• tona ($1t=1000kg$),
• gramas ($1g=0,001kg$),
• miligramas ($1mg=10^{-6}kg$).

Masė dažnai reikalinga norint apibūdinti mechanines sistemas.

Niutono dėsniai

Anglų fizikas Izaokas Niutonas XVII a. suformulavo tris dėsnius (aksiomas), kuriais remiasi visa klasikinė mechanika. Lagranžo ir Hamiltono mechanika taip pat išvedamos naudojantis Niutono dėsnius. Šie dėsniai vėliau buvo pavadinti jo vardu.

Supaprastintas jų variantas:

• Pirmasis Niutono dėsnis: egzistuoja tokios atskaitos sistemos, kuriose kūnas yra rimties būsenos arba juda tiesiai ir tolygiai, jei jį veikiančių jėgų atstojamoji lygi nuliui.
• Antrasis Niutono dėsnis: kūno įgyjamas pagreitis yra tiesiogiai proporcingas kūną veikiančių jėgų atstojamajai ir atvirkščiai proporcingas kūno masei. $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$.
• Trečiasis Niutono dėsnis: dviejų kūnų sąveikos jėgos yra lygaus dydžio ir priešingų krypčių. $\overrightarrow{F_{12}}=-\overrightarrow{F_{21}}$

Praktikoje Antras Niutono dėsnis dažnai performuluojamas kaip:

• $\sum _i{𝐅}_i=m𝐚=\frac{d𝐩}{dt}=\frac{d(m𝐯)}{dt}=m\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}$

Pastaba: paskutinė lygybė gaunama kai masė nepriklauso nuo laiko, bendru atveju negalima išsikelti masės prieš defirencialą!

Visuotinės traukos dėsnis

Visuotinės traukos dėsnį 1687 metais suformulavo Izaokas Niutonas. Jis teigia, kad du kūnai traukia vienas kitą jėga, kurios dydis (modulis) tiesiogiai proporcingas jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcingas atstumo tarp kūnų kvadratui:

${𝐅}_{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\widehat{𝐫}$, kur

$𝐅$ – tarpusavio traukos jėgos vektorius,

$m_1$ – pirmojo kūno masė,

$m_2$ – antrojo kūno masė,

$r$ – atstumas tarp kūnų pirmo ir antro kūno,

$\widehat{𝐫}$ - krypties vektorius tarp pirmo ir antro kūnų

$G$ – gravitacinė konstanta, apytiksliai lygi G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg^-2

Bendru atveju gravitacinis laukas iš tam tikro tankio pasiskirstymo $\rho (𝐫)$ gaunamas:

$𝐚=G\underset{V}{\iiint }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\widehat{{𝐫}^{\prime }}dV$

Kosminių kūnų judėjimas. Kosminiai greičiai

Palydovas – bet koks gamtinis objektas, tam tikra orbita skriejantis apie kitą (astronominį) objektą (pvz., planetą). Jo greičio skaitinę vertę galime surasti pagal formulę:

$v=\sqrt{G\frac{M}{R}}$, kur

$v$ – palydovo greičio modulis,

$G$ – gravitacinė konstanta,

$M$ – planetos masė,

$R$ – atstumas nuo palydovo iki planetos centro.

Formulės išvedimas.

Apskritimu judančio kūno pagreitis lygus: $a=\frac{v^2}{R}$, kur $a$ – kūno pagreitis, $v$ – kūno linijinis greitis, $R$ – atstumas nuo kūno iki apskritimo centro. Pagal antrąjį Niutono dėsnį jėga lygi masės ir pagreičio sandaugai, galime rasti kokia jėga turi būti traukiamas kūnas, kad jis galėtų skrieti apskritimine orbita: $F=a*m=\frac{m*v^2}{R}$ Išprastinus mases ir išsireiškus greitį gauname: $v=\sqrt{G\frac{M}{R}}$ Pastaba: Čia laikėme, kad kūnas juda apskritimine orbita

Nagrinėjant Žemės palydovus išskiriamos trys kosminių greičių „rūšys“:

• Pirmasis kosminis greitis – arti planetos paviršiaus apskritimine orbita skriejančio palydovo arba tiesiog mažesnio kūno greitis. Žymimas v₁. Žemės pirmasis kosminis greitis yra apytiksliai lygus $v_1\simeq 7,9*10^{3}m/s$.
• Antrasis kosminis greitis – pradinis greitis, kurį įgijęs kūnas gali įveikti žemės trauką. Žymimas v₂ ir yra $\sqrt{2}$ karto didesnis už v₁. Apytikslė jo reikšmė yra $v_2\simeq 11,2*10^{3}m/s$. Kūno, judančio greičiu, lygiu antrajam kosminiam greičiui, trajektorija Žemės atžvilgiu yra parabolė. Kūno, judančio greičiu $v_1<v<v_2$, orbita yra elipsė.
• Trečiasis kosminis greitis – pradinis greitis, kurį įgijęs kūnas gali įveikti Saulės trauką. Žymimas v₃ ir yra apytiksliai lygus $v_3\simeq 16,6*10^{3}m/s$.

Keplerio dėsniai

Keplerio dėsniai – trys dėsniai, aprašantys planetų judėjimą.

• Pirmasis Keplerio dėsnis: kiekviena planeta skrieja aplink Saulę elipse, kurios viename židinyje yra Saulė.
• Antrasis Keplerio dėsnis: planetos spindulys-vektorius per lygius laiko tarpus nubrėžia lygius plotus.
• Trečiasis Keplerio dėsnis: planetų skriejimo aplink Saulę žvaigždinių periodų kvadratai proporcingi jų orbitų didžiųjų pusašių kubams.

$\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}$, kur

$a_1$ – pirmojo kūno orbitos pusašio ilgis,

$a_2$ – antrojo kūno orbitos pusašio ilgis,

$T_1$ – pirmojo kūno skriejimo periodas,

$T_2$– antrojo kūno skriejimo periodas.

Trečio Keplerio dėsnio įrodymas specialiu atveju, kai orbitos apskritimo formos:

Įrodymas:

Tegu, m masės palydovas skrieja apskritimine orbita aplink M masės kūną atstumu R, čia laikysime, kad M >> m. Naudojantis N2 gauname:

$G\frac{mM}{R^2}=\frac{m{v}^2}{R}$

$v^{2}R=GM$

Kadangi turime apskritiminę orbitą, kūno greitis bus $v=2\pi R/T$, tai

$\frac{4{\pi }^2{R}^3}{T^2}=GM$

$\frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi }=konstanta$

Tai paėmus du atskirus palydovus su spinduliais $R_1$, $R_2$ ir periodais $T_1$, $T_2$ atitinkamai gauname:

$\frac{R_1^3}{R_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}$