Integruojantis daugiklis

Integruojantis daugiklis – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.

Pirmos eilės diferencialinės lygtys

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

Integruojantis daugiklis $M(x)$, turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus

$M(x)=e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Ši išraiška gaunama taip:

$\begin{array}{cc}(1)& M(x)\underset{\text{partial derivative}}{(\underbrace{y^{\prime }+P(x)y})}\\ (2)& M(x)y^{\prime }+M(x)P(x)y\\ (3)& \underset{\text{total derivative}}{\underbrace{M(x)y^{\prime }+M^{\prime }(x)y}}\end{array}$

Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad $M(x)P(x)=M^{\prime }(x)$. Taigi,

$\begin{array}{cc}(4)& M(x)P(x)=M^{\prime }(x)\\ (5)& P(x)=\frac{M^{\prime }(x)}{M(x)}\\ (6)& \underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds=\ln M(x)\\ (7)& e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=M(x)\end{array}$

Padauginus iš $M(x)$ gaunama:

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal $x$taikymo taisykle gaunama:

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=\frac{d}{dx}(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds})$

Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:

$\frac{d}{dx}\left(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}\right)=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Toliau abi pusės suintegruojamos pagal $x$, $x$ pervadinamas į $t$. Gaunama:

$y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}=\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)ds}dt+C$

Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:

$y=e^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)ds}dt+C{e}^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

Jei $Q(x)=0$ (homogeninė diferencialinė lygtis), randama

$y=\frac{C}{e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}}$

Čia $C$ yra konstanta.

Pavyzdys

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0.$

Matoma, kad $P(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\underset{1}{\overset{x}{\int }}P(s)ds}$

$M(x)=e^{\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{-2}{s}ds}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)=\frac{1}{x^2}.$

Padauginus abi lygties puses iš $M(x)$ gaunama

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^3-2x^{2}y}{x^5}=0$

$\frac{x(y^{\prime }{x}^2-2xy)}{x^5}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^2-2xy}{x^4}=0.$

Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

arba

$\frac{y}{x^2}=C$

o iš čia gaunama

$y\left(x\right)=C{x}^2.$

Netiesinė antros eilės diferencialinė lygtis

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=A{y}^{2/3}$

Panaudojus $\frac{dy}{dt}$ kaip integruojantį daugiklį, gaunama:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{dy}{dt}=A{y}^{2/3}\frac{dy}{dt}.$

Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\right)=\frac{d}{dt}\left(A\frac{3}{5}{y}^{5/3}\right).$

Taigi,

${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0.$

Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama

$\underset{y(0)}{\overset{y(t)}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0}}=t$

Nuorodos

• Šablonas:Citation.