Laplaso transformacija

Laplaso transformacija – Pjero Simono Laplaso sukurtas tiesinis operatorius, transformuojantis realiųjų skaičių funkcijas į kompleksinių skaičių funkcijas. Tokiu atveju realiojo kintamojo funkcija vadinama vaizdu, o ją atitinkanti kompleksinio kintamojo funkcija – atvaizdu.

Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Čia $i$ – menamasis vienetas, o $0^{-}$ yra $\underset{ϵ\to +0}{\lim }-ϵ$ . Tokia riba reiškia, kad į integravimo intervalą patenka visa Dirako delta funkcija.

Atvirkštinė Laplaso transformacija yra tokia:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma -i\cdot \mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +i\cdot \mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F(s)ds.$

Čia γ yra tam tikras realusis skaičius, su kuriuo atvaizdas visame integravimo intervale konverguoja absoliučiai.

Laplaso transformacijoje pakeitus $s$ į $-iw$, ši pasidaro panaši į Furjė transformaciją.