Maksvelo lygtys

Maksvelo lygtys – keturios lygtys, kurios aprašo elektrinį ir magnetinį laukus ir jų sąveiką su materija.

Lygtis 1864 m. paskelbė Džeimsas Klarkas Maksvelas Londono karališkosios draugijos posėdyje.

Integralinė Maksvelo lygčių forma

${\oint }_S𝐃\cdot d𝐒=\frac{q}{\epsilon {\epsilon }_0}$

${\oint }_S𝐁\cdot d𝐒=0$

${\oint }_l𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_M}{dt}$

${\oint }_l𝐇\cdot d𝐥=\mu {\mu }_{0}I+\mu {\mu }_0\epsilon {\epsilon }_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}$

Diferencialinė Maksvelo lygčių forma

Ši Maksvelo lygčių forma nusako tuos pačius sąryšius, tačiau pritaikyta erdvės taškams.

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{\epsilon {\epsilon }_0}$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$

$𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=\mu {\mu }_0({𝐣}_L+\epsilon {\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t})$

Ji gaunama iš integralinių formų.

Pirmosios ir antrosios lygties išvedimas

Pirmojoje lygtyje krūvį galima pakeisti krūvio tūrinio tankio funkcijos $\rho$ integralu

${\oint }_S𝐃\cdot d𝐒=\frac{1}{\epsilon {\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho dV$

Pritaikius Gauso teoremą kairiajai lygties pusei gaunama

$\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃)dV=\frac{1}{\epsilon {\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho dV$

o kadangi abiejų integralų rūšis ir integravimo kintamasis sutampa, be to, tarp jų yra lygybė, tai galima sulyginti ir pointegralines funkcijas.

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\frac{\rho }{\epsilon {\epsilon }_0}$

Atitinkamai iš antrosios Maksvelo lygties integraline forma galima gauti ir

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$

Trečiosios lygties išvedimas

Iš trečiosios lygties dešinės pusės išreiškus magnetinį srautą gaunama

$-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_M}{dt}=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐒=-\underset{S}{\int }\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\cdot d𝐒$

Pagal Stokso teoremą trečiosios lygties kairiajai pusei

${\oint }_l𝐄\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐄\cdot d𝐒$

$\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐄\cdot d𝐒=-\underset{S}{\int }\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\cdot d𝐒$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

Ketvirtosios lygties išvedimas

Iš ketvirtosios lygties dešinės pusės išreiškus laidumo srovę ir elektrinį srautą gaunama

$I=\underset{S}{\int }{𝐣}_L\cdot d𝐒$

$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}=\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐒=\underset{S}{\int }\frac{\partial 𝐃}{\partial t}\cdot d𝐒$

Pagal Stokso teoremą ketvirtosios lygties kairiajai pusei

${\oint }_l𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐇\cdot d𝐒$

$\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐇\cdot d𝐒=\mu {\mu }_0\epsilon {\epsilon }_0\underset{S}{\int }(\frac{{𝐣}_L}{\epsilon {\epsilon }_0}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t})\cdot d𝐒$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=\mu {\mu }_0{𝐣}_L+\mu {\mu }_0\epsilon {\epsilon }_0\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

Fizikinė Maksvelo lygčių interpretacija

Pirmosios dvi lygtys yra Gauso dėsnis elektriniam ir magnetiniam laukui.

Pirmoji rodo, kad krūvis yra elektrinio lauko šaltinis, o antroji – kad magnetinių „krūvių“ nėra. Tokių magnetinių monopolių kol kas nerasta, taigi magnetinio lauko srautas per uždarą paviršių yra lygus nuliui (tokiu laikomas ir tūrinis magnetinio krūvio tankis).

Trečioji lygtis yra Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsnis.

Ketvirtoji lygtis – Ampero dėsnis, pagal kurį magnetinį lauką kuria laidumo ir slinkties srovės.

Sąsajos su specialiąja reliatyvumo teorija

Buvo iškelta hipotezė apie elektromagnetinių bangų egzistavimą. Jų greitis vakuume yra

$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$

Gautas elektromagnetinių bangų greitis yra absoliutus ir nepriklauso nuo stebėtojo judėjimo greičio. Tuo metu atrodė, kad tai prieštarauja sveikam protui ir buvo įvesta eterio sąvoka. Vėliau Albertas Einšteinas sukūrė specialiają reliatyvumo teoriją ir eterio sąvokos buvo atsisakyta. Maksvelo lygtims jau nebereikėjo specialialiosios reliatyvumo teorijos pataisymų (priešingai nei gravitacijai), nes ji iš karto buvo kuriama atsižvelgiant į magnetizmą. Einšteinas parodė, kad magnetizmas atsiranda dėl reliatyvumo teorijos efektų. Judant krūviams (tekant srovei) judančių elektronų atžvilgiu kitame laide padidėja ilginis krūvio tankis (kadangi krūvis absoliutus ir nesikeičia, o ilgis reliatyvus ir keičiasi judant stebėtojui), todėl atsiranda sąveika tarp laidų, kurią mes vadiname Lorenco jėga. Specialiojoje reliatyvumo teorijoje Maksvelo lygtys užrašomos kovariantinių tenzorių forma:

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }={\mu }_0{J}_{\nu }$     (Ampero – Gauso dėsnis)

${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }=0$     (Faradėjaus – Gauso dėsnis) Čia ${\partial }_{\nu }=\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}$