Meromorfinė funkcija

Meromorfinė funkcija matematikoje tai kompleksinio argumento funkcija, holomorfinė visoje funkcijos argumento apibrėžimo srityje, išskyrus aibę polių (izoliuotų ypatingų taškų), kuriuose ji gali būti išskleista Lorano eilute. (Terminas suformuotas iš graikiškų žodžių meros /μέρος, reiškiančio dalis, norint pabrėžti skirtumą nuo holos /ὅλος, reiškiančio visuma.)

Bet kokia meromorfinė funkcija gali būti išreikšta dviejų holomorfinių funkcijų santykiu.

Gama funkcija yra meromorfinė visoje apibrėžimo srityje.

Dauguma elementariųjų funkcijų, sveikosios, trigonometrinės ir elipsinės funkcijos, dzeta funkcija yra meromorfinės.

Polių skaičius gali būti ir begalinis.

Pavyzdžiai

• Polinomų santykis, pvz.:

  $f(z)=\frac{z^3-2z+10}{z^5+3z-1},$

  yra meromorfinė funkcija.

• Funkcijos

  $f(z)=\frac{e^z}{z}\text{ ir }f(z)=\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}$

  taip pat Gama funkcija, Rymano dzeta funkcija yra meromorfinės visoje kompleksinėje plokštumoje.

• Funkcija

  $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

  apibrėžta visur, išskyrus, z=0. Tačiau šiuo atveju, 0 nėra polius. Funkcija meromorfinė tik $ℂ\setminus \{0\}$.

• Funkcija

  $f(z)=\ln (z)$

  nėra meromorfinė visoje savo apibrėžimo srityje.

• Funkcija

  $f(z)=\frac{1}{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}$

  nėra meromorfinė savo apibrėžimo srityje, nes $z=0$ yra daugelio polių koncentracijos taškas. Taip pat ir funkcija

  $f(z)=\sin \frac{1}{z}$

  nėra meromorfinė, nes taške $z=0$ negali būti išskleista baigtiniu narių su neigiamais laipsniais skaičiumi Lorano eilutėje.