Gama funkcija

Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R – realioji komponentė, J – menamoji.

Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

Gama funkcija (žymima $\mathrm{\Gamma }(z)$) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje.

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}.$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

$n!=n(n-1)!$

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$

Kartu su $\mathrm{\Gamma }(1)=1$:

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }-e^{-t}{|}_0^k=-0-(-1)=1$,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=\cdots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$

Taip pat

$\left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

$(n+\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi }\times \prod _{k=0}^n\frac{2k+1}{2}.$

Pavyzdžiui,

$3.5!=\sqrt{\pi }\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}\approx 11.63.$

Taikymas

• n – matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }((n/2)+1)}.$