Polius (kompleksinė analizė)

Gama funkcijos $\mathrm{\Gamma }(z)$ modulis. Kairėje, (Re z<0) funkcija turi be galo daug polių. Dešinėje (Re z>0) polių nėra, nors funkcija greitai didėja.

Polius kompleksinėje analizėje – kompleksinio kintamojo funkcijos $f(z)$ izoliuotas ypatingas taškas (tai yra taškas, kuriame ji elgiasi kaip ir funkcija $\frac{1}{z^n}$ prie z = 0) $z_0$, kuriame $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty }$.

Poliaus kriterijai

• Taškas $z_0$ yra polius tik tada, kai funkcijos $f(z)$ skleidinys Lorano eilute taško $z_0$ aplinkoje (išskyrus patį tašką $z_0$) turi baigtinį skaičių narių su neigiamu laipsniu:

$f(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z-z_0{)}^k=P(z)+f_{-n}(z-z_0{)}^{-n}+\dots +f_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$,

čia $P(z)$ – reguliarioji Lorano eilutės dalis (tik nariai su neneigiamais laipsniais). Jei $f_{-n}\ne 0$, tuomet taškas $z_0$ vadinamas $n$ eilės poliumi. Jei $n=1$, jį vadiname pirmos eilės poliumi.

• Taškas $z_0$ yra $k$ eilės polius tik tuomet, kai $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^{k-1}=\mathrm{\infty }$, bet $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^k\ne \mathrm{\infty }$
• Taškas $z_0$ yra $k$ eilės polius tik tada, kai jis yra funkcijos $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ $k$ eilės nulis.

Pavyzdžiai

• Funkcija

$f(z)=\frac{3}{z}$

turi pirmos eilės polių taške $z=0$.

• Funkcija

$f(z)=\frac{z+2}{(z-5{)}^2(z+7{)}^3}$

turi antros eilės polių taške $z=5$ ir trečios eilės polių taške $z=-7$.

• Funkcija

$f(z)=\frac{z-4}{e^z-1}$

turi pirmos eilės polius taškuose $z=2\pi ni\text{ ,čia }n=\dots ,-1,0,1,\dots .$

• Funkcija

$f(z)=z$

turi pirmos eilės polių begalybėje.