Riba (matematika)

Riba – pamatinė matematinės analizės sąvoka, kuri intuityviai suvokiama kaip reikšmė, prie kurios matematinė funkcija „artėja“, kai funkcijos argumentas artėja prie tam tikros reikšmės. Ribos yra plačiai naudojamos daugelyje matematikos sričių, įskaitant integralinį ir diferencialinį skaičiavimą, apibrėžiant funkcijos tolydumą, išvestines ir integralus.

Ribos formulių pavidalu dažnai yra rašomos taip:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

skaitoma taip: „funkcijos f, kurios argumentas x artėja prie c, riba yra lygi L“. Čia „lim“ reiškia lotynų kalbos žodį limit (ribą). Faktas, jog funkcija f(x) artėja prie ribos L kai x artėja prie c yra vaizduojamas rodykle į dešinę pusę (→):

$f(x)\to L,\text{ kai }x\to c.$

Funkcijos riba

Kai taškas Šablonas:Math nuo Šablonas:Math yra ne toliau nei per Šablonas:Math, reikšmė Šablonas:Math nutolusi nuo Šablonas:Math ne daugiau nei per ε.

Sakykime Šablonas:Math yra realias reikšmes įgyjanti funkcija, o

$c$

yra realusis skaičius. Intuityviai kalbant, užrašas

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

reiškia, kad Šablonas:Math galima priartinti kaip norima arti Šablonas:Math, priartinant Šablonas:Math prie Šablonas:Math. Šiuo atveju pastarąją formulę galima skaityti „funkcijos Šablonas:Math riba, kai Šablonas:Math artėja prie Šablonas:Math, yra Šablonas:Math“. Taip pat sakoma kad „funkcijos Šablonas:Math riba taške Šablonas:Math yra Šablonas:Math“.

Matematikas Ogiuestenas-Lui Koši (Augustin-Louis Cauchy) 1821 metais, o vėliau ir matematikas Karlas Vaierštrasas (Karl Weierstrass), pateikė griežtą ribos apibrėžimą, kuris dabar kartais vadinamas (ε, δ) ribos apibrėžimu: pagal šį apibrėžimą, $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui Šablonas:Math egzistuoja teigiamas skaičius ε, kad visiems x tenkinantiems $0<|x-c|<\delta$ galioja Šablonas:Math.

Apibrėžime raidė ε (mažoji graikų alfabeto raidė epsilon) žymi bet kokį mažą teigiamą skaičių, taigi „Šablonas:Math kaip norima priartėja prie Šablonas:Math“ reiškia, kad Šablonas:Math galiausiai patenka į intervalą Šablonas:Math, ką taip pat galima užrašyti naudojant absoliučios reikšmės ženklą kaip Šablonas:Math. Frazė „kai Šablonas:Math artėja prie Šablonas:Math“ nurodo, kad turimos omenyje kintamojo Šablonas:Math reikšmės, nutolusios nuo skaičiaus Šablonas:Math mažesniu atstumu nei tam tikras teigiamas skaičius Šablonas:Math (mažoji graikų alfabeto raidė delta) – tai yra, kai Šablonas:Math priklauso arba Šablonas:Math arba Šablonas:Math, ką kitaip galime užrašyti $0<|x-c|<\delta$. Iš pirmosios nelygybės išplaukia, jog $x\ne c$.

Ši funkcija taške $c=-4$ nėra apibrėžta, tačiau turi ribą, +∞ arba -∞, priklausomai nuo to, iš kurios pusės artėjama. Funkcijos riba artėjant į bet kurio ženklo begalybę lygi 4.

Iš ribos egzistavimo neišplaukia, jog Šablonas:Math. Funkcija netgi neturi būti apibrėžta taške Šablonas:Math.

Visiems Šablonas:Math, reikšmė Šablonas:Math nutolusi nuo Šablonas:Math atstumu ε.

Aukščiau nurodytas apibrėžimas turi prasmę, kai Šablonas:Math yra baigtinis skaičius, tačiau ribą galima apibrėžti ir kai c lygus +∞ ar -∞. Šiuo atveju $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui Šablonas:Math egzistuoja teigiamas („didelis“) skaičius S, kad visiems x tenkinantiems $x>S$ galioja Šablonas:Math (analogiškai $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$, jei Šablonas:Math galioja visiems x tenkinantiems $x<-S$).

Verta pastebėti, kad ribos apibrėžimas begaliniuose taškuose nėra iš esmės kitoks, kadangi natūrali baigtinio skaičiaus c aplinka yra intervalų Šablonas:Math ir Šablonas:Math sąjunga, o begalybės +∞ aplinka yra intervalas pavidalo (S, +∞) (bei begalybės -∞ aplinka yra intervalas pavidalo (-∞, S). Šis pastebėjimas leidžia natūraliai pratęsti ribos sąvoką funkcijoms apibrėžtoms topologinėse erdvėse, negriežtai šnekant, aibėse, kuriose apibrėžta aplinkų struktūra.