Rošė riba

Rošė riba, kartais vadinama Rošė spinduliu, – atstumas, kurio ribose kosminis kūnas, išlaikantis savo medžiagą tik dėl gravitacijos jėgos, suirs dėl antro kūno keliamų potvyninių bangų, jei jų jėga bus didesnė nei gravitacijos jėga. Rošė ribos viduje, orbitoje esantis kūnas yra linkęs suirti ir sudaryti žiedus. Už Rošė ribos, materija yra linkus kolapsuoti. Riba pavadinta prancūzų astronomo Eduardo Rošė vardu, kuris pirmasis apskaičiavo šią teorinę ribą 1848 m.

Paprastai Rošė riba taikoma palydovui, suyrančiam dėl planetos, aplink kurią jis skrieja, potvyninių jėgų. Kai kurie palydovai (tiek gamtiniai, tiek dirbtiniai), gali skrieti ir orbita, esančia Rošė ribos viduje, mat juos papildomai išlaiko ir kitos jėgos, ne tik gravitacija. Jupiterio mėnulis Metidė bei Saturno mėnulis Panas yra tokių palydovų pavyzdžiai, kurie išsilaiko dėl tamprumo jėgos. Ekstremaliais atvejais, objektai, esantys tokių palydovų paviršiuje, gali būti atplėšti potvyninių jėgų. Silpnesnis palydovas, toks kaip kometa, kirtus Rošė ribą, suyra.

Kadangi potvyninės jėgos Rošė riboje nugali gravitacinę jėgą, joks didesnis kūnas negali sukolapsuoti iš mažesnių kūnų tame regione. Iš tiesų, beveik visi žinomi planetų žiedai yra Rošė ribos viduje (išskyrus Saturno žiedus bei Fobo žiedus). Šios išimtys gali būti proplanetinių akrecinių diskų, nesugebėjusių sulipti į pakankamo dydžio kūnus, liekanos arba susidarė palydovui kirtus Rošė ribą ir suirus.

Verta paminėti, kad Rošė riba nėra vienintelė kometų suirimo priežastis. Susiskaldymas dėl slėgio ar dėl per didelio sukimosi greičio yra dažniau pasitaikančios kometų suirimo priežastys.

Rošė ribos nustatymas

Rošė riba priklauso nuo palydovo kietumo. Esant pilnai kietam palydovui, jis išlaikys savo formą iki pat potvyninėms jėgoms jį sutraiškant. Labai skystas palydovas, savo ruožtu pamažu deformuojasi, taip stiprindamas potvynines jėgas, todėl palydovas toliau tįsta, kol galiausiai potvyninės jėgos jį išdrasko. Dauguma realių palydovų yra kažkur tarp šių dviejų ekstremumų, turi vidinę trintį, klampą bei tamprumo koeficientą, kas padaro kūną nei idealiai kietą nei idealiai skystą.

Kietakūniai palydovai

Skaičiuojant kieto kūno Rošė ribą sferiniam palydovui, nekreipiama dėmėsio į kietumo priežastį ir laikoma, kad kūnas išlaiko savo sferinę formą iki pat suirimo. Kiti efektai irgi ignoruojami. Šios nerealistinės prielaidos gerokai supaprastina Rošė ribos skaičiavimą.

Rošė riba, $d$, kietam sferiniam palydovui, atmetant orbitinius poveikius, yra

$d=R{\left(2\frac{{\rho }_M}{{\rho }_m}\right)}^{\frac{1}{3}}$,

kur $R$ yra planetos spindulys, ${\rho }_M$ yra planetos tankis, bei ${\rho }_m$ yra palydovo tankis.

Jei palydovas yra dvigubai ar labiau tankesnis už planetą, kas laisvai gali būti akmeniniu mėnuliu, skriejančiu aplink dujinį milžiną, Rošė riba bus planetos viduje ir bus neaktuali.

Formulės išvedimas

Rošė ribos išvedimas.

Norint nustatyti Rošė ribą, imame mažos masės $u$ objektą, esantį ant palydovo paviršiaus, arčiausiai planetos. Šį objektą $u$ veikia dvi jėgos: gravitacinė jėga jį traukia link palydovo, bei kita gravitacinė jėga jį traukia link planetos. Teigiant, kad palydovas laisvai skrieja orbitoja aplink planeta ir kad potvyninės jėgos yra vienintelė planetos gravitacinės jėgos išraiška :

Gravitacinė trauka $F_G$, traukianti kūną $u$ link masės $m$ palydovo atstumu $r$ gali būti išreikšta Niutono gravitacijos dėsniu

$F_G=\frac{Gmu}{r^2}$

Potvyninės jėgos $F_T$ veikianti kūną $u$ planetos, kurios skersmuo $R$ ir masė $M$, link, tarp kūnų centrų esant atstumui $d$, gali būti išreikšta

$F_T=\frac{2GMur}{d^3}$.

Norint rasti skirtumą, reikia rasti planetos gravitacinės traukos jėgų, veikiančių palydovo centrą ir pakraštį, esantį arčiausiai planetos, skirtumą:

$F_T=\frac{GMu}{(d-r{)}^2}-\frac{GMu}{d^2}$

$F_T=GMu\frac{d^2-(d-r{)}^2}{d^2(d-r{)}^2}$

$F_T=GMu\frac{2dr-r^2}{d^4-2d^{3}r+r^2{d}^2}$

Kadangi aproksimacijoj r<<R ir R<d, galime teigti, kad $r^2$ skaitiklyje ir kiekvienas $r$ vardiklyje artėja prie nulio, iš ko seka:

$F_T=GMu\frac{2dr}{d^4}$

$F_T=\frac{2GMur}{d^3}$

Rošė riba yra pasiekta, kai gravitacinė ir potvyninė jėgos viena kitą kompensuoja.

$F_G=F_T$

arba

$\frac{Gmu}{r^2}=\frac{2GMur}{d^3}$,

kas mums duoda Rošė ribą, $d$, kai

$d=r{\left(2\frac{M}{m}\right)}^{\frac{1}{3}}$.

Tačiau lygtyje mums nereikia turėti palydovo spindulio, taigi formulė perrašoma tankių atžvilgiais.

Masės $M$ sferai galima parašyti

$M=\frac{4\pi {\rho }_M{R}^3}{3}$, kur $R$ yra planetos spindulys.

Analogiškai

$m=\frac{4\pi {\rho }_m{r}^3}{3}$ kur $r$ yra palydovo spindulys.

Pakeičiant mases Rošė riboje, bei pašalinant $4\pi /3$ gaunam

$d=r{\left(\frac{2{\rho }_M{R}^3}{{\rho }_m{r}^3}\right)}^{1/3}$,

kas gali būti supaprastinta į Rošė ribą:

$d=R{\left(2\frac{{\rho }_M}{{\rho }_m}\right)}^{\frac{1}{3}}$.

Skystakūniai palydovai

Tikslesniems Rošė ribos apskaičiavimams reikia įskaityti ir palydovo deformaciją. Skaičiavimai sudėtingi ir jų rezultatas negali būti atvaizduotas tikslia algebrine formule. Rošė pats išvedė tokią ribos apytikslę formulę:

$d\approx 2,44R{\left(\frac{{\rho }_M}{{\rho }_m}\right)}^{1/3}$

Kai kurie Rošė ribos pavyzdžiai

Žemiau pateikiami Saulės sistemos pagrindinių kūnų vidutiniai tankiai ir spinduliai.

Pagrindinis kūnas	Tankis (kg/m³)	Spindulys (m)
Saulė	1408	696 000 000
Jupiteris	1326	71 492 000
Žemė	5513	6 378 137
Mėnulis	3346	1 738 100
Saturnas	687,3	60 268 000
Uranas	1318	25 559 000
Neptūnas	1638	24 764 000

Naudojantis šiais duomenimis, galima nesunkiai paskaičiuoti Rošė ribas kietiems ir skystiems kūnams. Vidinis kometų tankis yra paimtas maždaug 500 kg/m³. Žemiau pateikiamoje lentelėje yra Rošė ribos, išreikštos metrais ir pagrindinių kūnų spinduliais. Tikroji palydovo Rošė riba priklaiso nuo jo tankio ir kietumo.

Kūnas	Palydovas	Rošė riba (kietas kūnas)		Rošė riba (skystas kūnas)
		Atstumas (km)	R	Atstumas (km)	R
Žemė	Mėnulis	9496	1.49	18,261	2,86
Žemė	vidutinė Kometa	17 880	2.80	34 390	5,39
Saulė	Žemė	554 400	0.80	1 066 300	1,53
Saulė	Jupiteris	890 700	1.28	1 713 000	2,46
Saulė	Mėnulis	655 300	0.94	1 260 300	1,81
Saulė	vidutinė Kometa	1 234 000	1.78	2 374 000	3,42

Jei palydovas yra dvigubai ar labiau tankesnis už pirminį kūną, kieto - kūno Rošė riba yra mažesnė nei pirminio kūno spindulys, ir abu kūnai susidurs dar prieš pasiekiant tą ribą.

Kaip arti Rošė ribos yra Saulės sistemos mėnuliai? Žemiau pateikiama lentelė parodo palydovų spindulio ir Rošė spindulio santykį. Pateikti tiek kieto kūno tiek skysto kūno skaičiavimai. Atkreipkite dėmesį, kad Panas, Metidė bei Najadė yra arti savo subyrėjimo ribos.

Daugumos didžiųjų dujų planetų vidinių palydovų tankiai nėra tiksliai žinomi. Šiais atvejais skaičiavimai pavaizduoti paverstai, pateiktos apytikslės vertės, tačiau tikroji Rošė riba gali skirtis.

Pirminis kūnas	Palydovas	Orbitos spindulys / Rošė riba
		(kietas)	(skystas)
Saulė	Merkurijus	104:1	54:1
Žemė	Mėnulis	41:1	21:1
Marsas	Fobas	172 %	89 %
	Deimas	451 %	234 %
Jupiteris	Metidė	~186 %	~94 %
	Adrastėja	~188 %	~95 %
	Amaltėja	175 %	88 %
	Tebė	254 %	128 %
Saturnas	Panas	142 %	70 %
	Atlantas	156 %	78 %
	Prometėjas	162 %	80 %
	Pandora	167 %	83 %
	Epimetėjas	200 %	99 %
	Janas	195 %	97 %
Uranas	Kordelija	~154 %	~79 %
	Ofelija	~166 %	~86 %
	Bianka	~183 %	~94 %
	Kresida	~191 %	~98 %
	Desdemona	~194 %	~100 %
	Džuljeta	~199 %	~102 %
Neptūnas	Najadė	~139 %	~72 %
	Talasa	~145 %	~75 %
	Despina	~152 %	~78 %
	Galatėja	153 %	79 %
	Larisa	~218 %	~113 %
Neptūnas	Charonas	12.5:1	6.5:1