Schema (matematika)

Algebrinėje geometrijoje schema (iš lot. schema) – matematinis objektas, apibendrinantis algebrinės atmainos sąvoką.

Afinioji schema

Paprasčiausia schemų teorijos sąvoka – afiniosios schemos, kurios yra afiniųjų atmainų analogai.

Žiedo spektras

Tarkime, $A$  – žiedas. Žiedo spektru $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$ vadinama žiedo $A$ aibė, kurios elementai yra visi žiedo $A$ pirminiai idealai. Šioje aibėje įvedama Zariskio topologija, kurioje uždarosios aibės yra šios formos:

$V(I)=\{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A|I\subset 𝔭\},$

kur $I$  – bet kokie žiedo $A$ idealai (akivaizdu, kad apibrėžime vietoje idealų galima imti bet kokias žiedo elementų aibes).

Atviros aibės atitinkamai yra papildiniai uždaroms:

$D(I)=\{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A|I\subset ̸𝔭\}.$

Topologinę bazę spektre sudaro aibės $D_f=D((f)),f\in A,$ susietos su pirminiais idealais $(f)$.

Struktūrinis pluoštas

Afinioji schema  – tai lokaliai žieduota erdvė $(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A;{𝒪}_A)$; kur ${𝒪}_A$  – struktūrinis pluoštas ant atvirų spektro poaibių, izomorfiška komutatyviajam žiedui $A$. Ji įvedama taip, kad bet kurį atvirą $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$ poaibį būtų galima laikyti poschemiu, o afiniosioms schemoms galioja ${𝒪}_A(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A)=A$, kas reiškia geometrinio ir algebrinio požiūrio į žiedą ekvivalentiškumą.

Pagal apibrėžimą, struktūrinis pluoštas bazės elementams yra

${𝒪}_A(D_f)=A_f,$

kur $A_f$  – žiedo $A$ lokalizacija pagal elementą $f$. Šią konstrukciją galima unikaliu būdu išplėsti iki $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$ pluošto.

Literatūra

• Šablonas:Cite book