Teiloro eilutė

Teiloro polinomo laipsniui didėjant, jis tampa artimesnis aproksimuojamai funkcijai. Ši iliustracija parodo $\sin x$ ir Teiloro aproksimacijos grafiką. Teiloro polinomo laipsniai atitinkamai 1, 3, 5, 7, 9, 11 ir 13.

Teiloro eilutė – 1712 m. B. Teiloro aprašyta formulė, pagal kurią polinomu galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus a aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.

Formulė:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^N\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_N$, kai x pakankamai artimas a.

Čia n! yra n faktorialas, o $f^{(n)}(a)$ žymi n - tąją funkcijos f išvestinę taške a.

Kai $a=0$, eilutė kartais vadinama Makloreno eilute (pagal škotų matematiką Koliną Makloreną).

Bendruoju atveju, Teiloro eilutės nebūtinai konverguoja į funkcijos reikšmę tame taške.

Eksponentė:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}\text{ su visais }x$.

Pavyzdžiui: $e^3=2,718281828^3=20,08553692,$

${\mathrm{e}}^3=\sum _{n=0}^8\frac{3^n}{n!}=1+3+\frac{3^2}{2\cdot 1}+\frac{3^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\frac{3^4}{4\cdot 3\cdot 2}+\frac{3^5}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+\frac{3^6}{6!}+\frac{3^7}{7!}+\frac{3^8}{8!}=$

$=1+3+4,5+4,5+3,375+2,025+1,0125+0,433928571+0,162723214=20,00915179.$

Natūrinis logaritmas:

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-(\frac{x^1}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...+\frac{x^n}{n})\text{ su }-1\le x<1$

Pavyzdžiui: $\ln (1-0,8)=-1.6094379124341;$

$\ln (1-0,8)=-0,8-\frac{0,8^2}{2}-\frac{0,8^3}{3}-\frac{0,8^4}{4}-\frac{0,8^5}{5}-\frac{0,8^6}{6}-\frac{0,8^7}{7}=$

$=-0.8-0.32-0.170(6)-0.1024-0.065536-0.043690(6)-0.029959314285714=-1.532252647619.$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}...\text{ su }-1<x\le 1$

Pavyzdžiui: $\ln (1+1)=0,69314718;$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=1-\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}-\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}-\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}-\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}=$

$=1-0,5+0,16(6)-0,0416(6)+0,0083(3)-0,00138(8)+0,000198412-0,000024801+0,000002755=0,632120811.$

Teisingai taip (nors atsakymai teisingu ir neteisingu atveju beveik tiek pat skiriasi nuo ln(2)):

$\ln (1+1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=1-\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}+\frac{1^5}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=$

=0.74563492063492.

Ilgesnė eilutė duoda tokį atsakymą:

$\ln (1+1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=1-\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}+\frac{1^5}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+$

$+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+\frac{1}{13}-\frac{1}{14}+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\frac{1}{17}-\frac{1}{18}+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=$

=0.64563492063492+0.0231364825405=0.6687714031754273.

Kvadratinė šaknis:

$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n\text{ for }|x|<1$

Trigonometrinės funkcijos (x čia reiškiamas radianais):

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \text{ su visais }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \text{ su visais }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots \text{ su }|x|<\frac{\pi }{2}$

kur $B_n$ yra n - tasis Bernulio skaičius

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ su }|x|<1$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3x^5}{2\cdot 4\cdot 5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+...+\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}+...,|x|<1$

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-[x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3x^5}{2\cdot 4\cdot 5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+...+\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}+...],|x|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ su }|x|\le 1$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\pm ...,|x|<1$

$\arctan x=\pm \frac{\pi }{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}-...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n+1)x^{2n+1}}\pm ...*,|x|>1$

* Pirmas narys $\frac{\pi }{2}$ imamas su ženklu "+", kai x>1 ir su ženklu "-" kai $x<-1.$

$\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-[x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\pm ...],|x|<1$