Vijeto teorema

Fransua Vijetas

Matematikoje, tiksliau algebroje, Vijeto teorema – formulės, siejančios polinomų koeficientus su jų šaknimis. Teorema pavadinta jos sukūrėjo prancūzų matematiko Fransua Vijeto vardu.

Teorema

Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, bet koks polinomas,

$p(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

kurio laipsnis yra n ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skaičiai a_n ≠ 0) turi n (nebūtinai skirtingų) kompleksinių šaknų x₁, x₂, ..., x_n.

Vijeto teorema sieja polinomų koeficientus { a_k } su jų šaknimis { x_i }:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.\end{array}$

Pavyzdžiai

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui (dar vadinamas kvadratiniu trinariu) $p(X)=a{X}^2+bX+c$ ir jo šaknims $x_1,x_2$ kvadratinėje lygtyje $p(X)=0$ yra

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^2-x-6=0,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{1}{1}\\ x_1\cdot x_2=\frac{-6}{1}\end{array}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ ir jo šaknims $x_1,x_2,x_3$ lygtyje $p(X)=0$ yra

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$