Kvadratinė lygtis

Matematikoje kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

$a{x}^2+bx+c=0$

Čia a, b, c – realieji skaičiai, $a\ne 0.$ Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b - antruoju koeficientu ir skaičius c - laisvuoju nariu.

Kvadratinės lygtys būna pilnosios (nesuprastintos arba suprastintos) ir nepilnosios. Kai a = 1, turima lygtis $x^2+bx+c$ dažnai vadinama redukuotaja kvadratine lygtimi.

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^2+bx+c=0$, kai $a\ne 0,$ $b\ne 0,$ $c\ne 0.$

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

$D=b^2-4ac$

Tada galimi trys atvejai:

• Jei $D>0$ tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:

  $\begin{array}{cc}{x}_{1,2}& =\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\\ \end{array}$

• Jei $D=0$, tai lygtis turi vieną sprendinį:

$x=-\frac{b}{2a}.$

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

Įrodymas :

$\begin{array}{cc}& a{x}^2+bx+c=0/\cdot 4a\\ & 4a^2{x}^2+4axb+4ac=0\\ & \underset{}{\underbrace{4a^2{x}^2+4axb+b^2}}-b^2+4ac=0\\ & {(2ax+b)}^2=b^2-4ac\\ & 2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}\\ & x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{array}$

• Jei $D<0$, tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:

  $\begin{array}{cc}{x}_{1,2}& =\frac{-b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{|D|}}{2a}\end{array}$

kur $\begin{array}{c}i\end{array}$ yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\end{array}$

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Nepilnoji kvadratinė lygtis yra tokia kvadratinė lygtis, kurios bent vienas iš koeficientų b ir c yra lygus 0. Bendra forma:

$a{x}^2=b$

Sprendimas:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =\frac{b}{a}\\ x_{1,2}& =\pm \sqrt{\frac{b}{a}}\end{array}$

Kvadratinė lygtis, kurios $c=0$

Bendra forma:

$a{x}^2+bx=0$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$\begin{array}{cc}x=0\mathrm{arba}ax& =-b\\ x& =-\frac{b}{a}\end{array}$

Bikvadratinė lygtis

Su kvadratine lygtimi susijusi yra bikvadratinė lygtis $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, kuri paverčiama kvadratine lygtimi $y^2+by+c$ pritaikius keitinį $x^2=y$. Išsprendus lygtį, gaunamos y reikšmės, o iš jų apskaičiuojamos atitinkamos x reikšmės. Jeigu $y_1>0$ ir $y_2>0$ bikvadratinė lygtis turi 4 sprendinius, jeigu viena iš y reikšmių yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius, kitu atveju lygtis sprendinių neturi.

Taip pat skaitykite

• Kvadratinė funkcija
• Vijeto teorema