Tikėtinumo funkcija

Tikėtinumo funkcija statistikoje – statistinio modelio parametro ar parametrų funkcija. Parametro ar parametrų θ verčių tikėtinumas L, yra lygus tikimybei stebimo rezultato x esant tam tikrai modelio parametro θ vertei: $ℒ(\theta |x)=P(x|\theta )$.

Tikimybės ir tikėtinumo sąvokos savo prasme labai artimos. Kartais jos netgi vartojamos, kaip sinonimai. Panagrinėkime du teiginius:

• Jei tikra moneta metama 10 kartų, kokia tikimybė, jog iš eilės 10 kartų iškris herbas?
• Kiek tikėtina, kad moneta tikra, jei metant 10 kartų iš eilės iškrenta herbas.

Pirmuoju atveju tikimybė nusako stebimų ar išmatuotų verčių funkciją esant fiksuotam parametrui (šiuo atveju parametras – moneta tikra). Antruoju atveju tikėtinumas irgi nusako tikimybę, bet tik tikimybę, kad moneta tikra esant stebėjimo/matavimo rezultatui – 10 kartų iš eilės iškrenta herbas.

Kitais žodžiais, tikimybė leidžia prognozuoti matavimo rezultatus, kai žinomi modelio parametrai, o tikėtinumas leidžia įvertinti modelio (nežinomus) parametrus, esant žinomiems matavimo rezultatams.

Terminas „tikėtinumas“ (Šablonas:En) anglų kalboje vartojamas bent jau nuo vėlyvosios vidurinės anglų kalbos. Formaliai jį naudoti nurodant konkrečią matematinės statistikos funkciją pasiūlė britų matematikas Ronaldas Fišeris.

Pavyzdys

Tarkime, kad turime n kažkokio dydžio $x_1,\dots ,x_n$ matavimų, kurie pasiskirstę pagal normalųjį dėsnį su vidurkiu $\mu$ ir dispersija ${\sigma }^2$:

$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}).$

Tikėtinumo funkcija šiuo atveju bus tokio pavidalo:

$ℒ(\mu ,{\sigma }^2|x_i)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\mu ,{\sigma }^2)={\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}\exp (-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2})$

Tai yra neneigiama funkcija. Kadangi visada patogiau skaičiuoti sumas, o ne sandaugas, dažnai naudojama logaritminė tikėtinumo funkcija:

$\log ℒ(\mu ,{\sigma }^2|x_i)=-\frac{n}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}.$

Logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl $ℒ$ ir $\log ℒ$ maksimumai sutampa. Norėdami įvertinti modelio parametrus $\mu$ ir ${\sigma }^2$ toliau galime naudoti didžiausio tikėtinumo metodą. Šis metodas taip pat yra mažiausių kvadratų metodo pagrindas.