Auksinis trikampis (matematika)

Auksinis trikampis. Kraštinių a/b santykis yra auksinis pjūvis φ. Viršūnės kampas yra $\theta =36^{\circ }$. Kiekvienas kampas prie pagrindo yra lygus 72°.

Auksinis trikampis – lygiašonis trikampis, kurio vienos iš lygių kraštinių ilgio santykis su pagrindo kraštinės ilgiu lygus skaičiui $\phi$ (aukso pjūviui).

$\frac{a}{b}=\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618034.$

Kampai

• Viršūnės kampas yra lygus:

$\theta =2\arcsin \frac{b}{2a}=2\arcsin \frac{1}{2\phi }=2\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{\pi }{5}\text{rad}=36^{\circ }.$

Taigi auksinis trikampis taip pat yra ir smailusis trikampis.

• Kadangi trikampio kampų suma lygi $\pi$ rad, kiekvienas kampas prie pagrindo yra lygus:

$\beta =\frac{\pi -\frac{\pi }{5}}{2}\text{rad}=\frac{2\pi }{5}\text{rad}=72^{\circ }.$

Pastaba:

$\beta =\arccos \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\text{rad}=\frac{2\pi }{5}\text{rad}=72^{\circ }.$

• Auksinis trikampis yra vienintelis trikampis, kurio trijų kampų santykis yra 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°).

Išklotinės

• Auksinis trikampis ir du auksiniai gnomonai (plokštumos figūra, sukurta pašalinus iš didesnio lygiagretainio kampo lygiagretainį, panašų į pirmąjį) iškloja taisyklingąjį penkiakampį.

Nuorodos

• Šablonas:MathWorld