Dalinė išvestinė

Dalinė išvestinė – atitinkamos kelių kintamųjų funkcijos išvestinė pagal vieną iš kintamųjų, apskaičiuota laikant, kad kiti kintamieji yra konstantos. Dalinės išvestinės naudojamos funkcijoms tirti.

Funkcijos f dalinė išvestinė pagal kintamąjį x žymima f_x, ∂_xf, ∂f/∂x. Pastaroji notacija buvo pasiūlyta Ležandro ir prigijo, kai ją pakartotinai pasiūlė Jakobis. „∂“ čia yra užapvalinta „d“ (paprasta „d“ naudojama išvestinės žymėjime).

Formaliai dalinė išvestinė apibrėžiama analogiškai išvestinei:

$\frac{\partial f(x_1,\dots ,x_n)}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_i+h,\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_n)}{h}.$

Vektorius, kurio koordinatės yra kelių kintamųjų funkcjos dalinės išvestinės pagal visus kintamuosius, vadinamas gradientu.

Galima apibrėžti ir aukštesnio laipsnio dalines išvestines. Pavyzdžiui, antro laipsnio dalinė išvestinė yra dalinės išvestinės dalinė išvestinė:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx}={\partial }_{xx}f=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}.$

Aukštesnio laipsnio dalines išvestinės gali būti skaičiuojamos ir skirtingų kintamųjų atžvilgiu. Tada jos vadinamos mišriosiomis, pavyzdžiui,

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{xy}={\partial }_{xy}f=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}.$