Ferma skaičius

Ferma skaičius – natūralusis skaičius, kuris yra išreiškiamas formule $F_n=2^{2^n}+1,$ čia $n$ yra neneigiamas sveikasis skaičius. Ferma skaičiai pavadinti prancūzų matematiko Pjero Ferma (1601–1665) vardu, kuris pirmasis ištyrė jų savybes.

Pjeras Ferma laiške Marinui Mersenui iškėlė prielaidą, kad Ferma skaičiai yra pirminiai. Tačiau 1732 m. Leonardas Euleris įrodė, kad taip nėra, parodydamas tai su $n=5$, buvo gautas sudėtinis skaičius, kuris dalijasi iš 641:

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

Iki šiol žinomi tik penki pirminiai Ferma skaičiai ir nežinia, ar jų yra daugiau, ar ne.

Ferma skaičiai yra glaudžiai susiję su taisyklingųjų daugiakampių konstravimu, tai parodė vokiečių matematikas Karlas Frydrichas Gausas (1777-1855), nustatęs, kad taisyklingąjį n-kampį skriestuvu ir liniuote galima nubrėžti tik tada, kad n yra pirminis Ferma skaičius arba skiriasi nuo to skaičiaus daugikliu $N^{\alpha }$, kur $\alpha$ - natūrinis skaičius.

Ferma skaičių pavyzdžiai

Keletas pradinių Ferma skaičių:

$F_0=2^1+1=3$

$F_1=2^2+1=5$

$F_2=2^4+1=17$

$F_3=2^8+1=257$

$F_4=2^{16}+1=65537$

$F_5=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

$F_6=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721$

$F_7=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721$

Ferma skaičių savybės

Kitos Ferma skaičių savybės:

• Tarp skaičių 2ⁿ+1 pirminiais gali būti tik Ferma skaičiai;
• Ferma skaičiai, kai n > 1, baigiasi 7;
• Ferma skaičiai negali būti tobulaisiais skaičiais;
• Ferma skaičiai negali būti Vifericho pirminiais skaičiai.

Ferma skaičiai geometrijoje

Gauso-Vancelio teorema teigia, kad taisyklingasis $n$-kampis gali būti nubrėžtas skriestuvu ir liniuote tada ir tik tada, kai $n$ yra sandauga skaičių 2 (pakelto laipsniu) ir skirtingų Ferma skaičių, užrašoma: n = 2^kp₁p₂...p_s, kur k, s yra neneigiami sveikieji skaičiai, o p_i yra skirtingi Ferma skaičiai.

Pavyzdžiui, taisyklingąjį penkiakampį galima nubrėžti naudojant skriestuvą ir liniuotę, nes 5 yra pirminis Ferma skaičius, taip pat daugiakampis su 340 kraštinių gali būti nubrėžtas naudojant skriestuvą ir liniuotę, nes 340 = 2².F₁.F₂.