Grandininė linija

Garandininė linija su skirtingomis $a$ reikšmėmis

Grandininė linija (GL) – plokščia transcendentinė kreivė, kurios formą homogeniniame gravitaciniame lauke įgauna lanksti, netąsi, vienalytė sunki grandinė su įtvirtintais galais. Angl. k. GL yra catenary curve – pavadinimas, kilęs iš lotyniško žodžio „catena“ – grandinė.

Lygtis Dekarto koordinatėse:

$y=\frac{a(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})}{2}=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)$

(1)

Taškas (0,$A$) – vadinamas viršūne, $Ox$ ašis - direktrise. Matematines GL savybes pirmą kartą ištyrė Robert Hooke (1670), o jos matematinę lygtį, praktiškai vienu metu, išvedė Gotfridas Leibnicas , Kristianas Heigensas ir Johanas Bernulis 1691-iais metais . GL ir su ja susijusios kreivės yra naudojamos architektūroje ir inžinerijoje, tiltų ir arkų dizainuose.

Kabanti grandinė linija.

Laisvai kabantys elektros maitinimo laidai (ypač tie, kurie naudojami elektrifikuotiems geležinkeliams) taip pat sudaro GL.

Voratinklis, tai kelios elastines grandininės linijos.

Grandininės linijos savybės

• Diferencialinė GL lygtis: $y^{″}=\frac{1}{a}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}.$ Jos sprendinys yra hiperbolinio kosinuso funkcija (1).
• Lanko ilgis skaičiuojant nuo GL viršūnės: $l=\frac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})=a\sinh \left(\frac{x}{a}\right).$
• Kreivumo spindulys: $r=\frac{(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}}=a{\cosh }^2\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{y^2}{a}.$
• Normalės ilgis: $n=\sqrt{1+y{\text{'}}^2}=a{\cosh }^2\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{y^2}{a},$ t. y. bet kokiam GL taškui kreivumo spindulys yra lygus normalės ilgiui.
• Plotas apribotas GL lanko, dviem ordinatėmis $x_1$ ir $x_2$ ir $x$ ašimi:

$S=a\sqrt{y_2^2-a^2}-a\sqrt{y_1^2-a^2}-a^2\sinh \frac{x_2}{a}-a^2\sinh \frac{x_1}{a}=al,$ t. y. plotas, apribotas GL lanku, tiesėmis $x=x_1$ ir $x=x_2$ ir $O_x$ ašimi, yra proporcingas to lanko ilgiui $l$ ir parametrui $a$.

• Parametrinė GL lygties forma:

$x(s)=a\mathrm{arcsinh}\left(\frac{s}{a}\right),$

$y(s)=\sqrt{a^2+s^2}.$

• Polinėse koordinatėse lygtis atrodo taip:

$\frac{r}{a}\sin \phi -\cosh (\frac{r}{a}\cos \phi )=0.$

• Naturali GL lygtis: $r=(a+\frac{l^2}{a}),$
• X-ašimi riedančios parabolės židinys x-y plokštumoje brėžia GL. Arba x-ašimi riedančios GL taškas x-y plokštumoje brėžia parabolę.
• Y koordinatė ir lanko ilgis $l$ susieti formule: $y^2=l^2+a^2$
• GL yra traktrisės (angl. tractrix) evoliutė.
• GL evoliutės parametrinė lygtis yra

$x(t)=a\sinh \left(\frac{t}{a}\right)\cosh \left(\frac{t}{a}\right)$, $y(t)=2a\cosh \left(\frac{t}{a}\right)$

• GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai.
• Bet kurio kreivės taško $M$ atstumo iki direktrisės projekcija į normalę taške $M$ yra lygi viršūnės atstumui iki direktrisės.

Tikrai, jei taškas $P$ yra taško $M$ ortogonalioji projekcija $O_x$ ašyje, tiesė $n$ yra kreivės normalė taške $M$, o taškas $L$ yra taško $P$ ortogonalioji projekcija tiesėje $n$ tai $ML=y\cos \alpha =y\frac{dx}{ds}$. Kadangi iš grandininės linijos lygties turime $s=a\frac{dy}{dx}=\sinh \left(\frac{x}{a}\right)$ tai $ds=\frac{1}{a}\cosh \frac{x}{a}=\frac{y}{a}dx$ todėl $ML=y\frac{dx}{\frac{y}{a}dx}$.

• Bet kurio kreivės taško $M$ atstumo iki simetrijos ašies projekcija į liestinę taške $M$ yra lygi kreivės lanko nuo taško $M$ iki viršūnės ilgiui.

Tikrai, jei taškas $K$ yra taško $P$ ortogonalioji projekcija liestinėje $l$, tai iš trikampio $MPK$ ir iš prieš tai minėtos savybės turime, kad

$M{K}^2=M{P}^2-M{L}^2=y^2-a^2=s^2.$

• Grandininė linija yra kreivė, kurios lanko ilgis nuo fiksuoto taško $A$ – kreivės viršūnės iki bet kurio jos taško $M$ yra proporcingas liestinės krypties koeficientui taške $M$.
• Dviejų grandininės linijos lankų nuo viršūnės $A$ iki taškų, per kuriuos eina statmenos kreivės liestinės, ilgių sandauga yra pastovus skaičius.
• Bet kurio grandininės linijos taško ordinatė yra kreivumo spindulio tame taške ir grandininės linijos parametro geometrinis vidurkis.
• Grandininės linijos $y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$ taškuose, kuriems $y\prec a\sqrt{\frac{5}{2}}$ antrosios eilės kreivė, turinti aukščiausios eilės lietimąsi su grandinine linija yra elipsė (tokie taškai vadinami kreivės elipsiniais taškais); kai $y\succ a\sqrt{\frac{5}{2}}$, tokia kreivė yra hiperbolė (hiperboliniai kreivės taškai), o dviejuose taškuose, kuriems $y=a\sqrt{\frac{5}{2}}$, glaudžiausiai su grandinine linija liečiasi parabolė (paraboliniai taškai).

Lygties išvedimas

Energijos minimumo principas

Be galo mažos masės $dm$ GL elemento potencinė energija homogeniniame gravitaciniame lauke:

$dE=gydm,$

(2)

čia $g$ – laisvojo kritimo pagreitis $(g\approx 9,81\frac{m}{s^2})$, $y=y(x)$ – GL elementщ aukštis virš “žemės”(lygio, kuriame potencinė energija laikoma lygi nuliui). Jei grandinė vienalytė, tai

$dm=\rho Sdl,$

(3)

čia $\rho$ – GL tankis, $S$– skerspjuvio plotas, $dl=\sqrt{(1+y_x^2)}dx$ – GL elemento ilgis.

Visos GL potencinė energija yra

$E=g\rho S\underset{-\frac{h}{2}}{\overset{\frac{h}{2}}{\int }}y\sqrt{(1+y_x^2)}dx$.

(4)

Pareikalaukime, kad kabančios GL forma būtų tokia, kad ji turėtų mažiausią potencinę energiją. Tai reiškia, kad energijos funkcionalas (4) turi minimalią reikšmę tarp visų glotnių kreivių su fiksuotomis kraštinėmis sąlygomis, t. y. variacinė funkcionalo $E[y]$ išvestinė $\frac{\delta E}{\delta y}=0$ ,:

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y_x}=0,$

(5)

čia $F=F(y,y_x)$– energijos funkcionalo (4) tankis.

Įstatę į Oilerio–Lagranžo lygtį (5) funkcionalo tankį (4), gausime antros eilės paprastą netiesinę dif. lygtį, kurią išsprendę, gausime funkciją $y(x)$– GL formą.

Galima padaryti truputi paprasčiau, jei pastebėti, kad funkcionalas (4) nepriklauso nuo nepriklausomojo kintamojo $x$ išreikštoje formoje. Tai reiškia, kad tokiam funkcionalui dydis

$H=\frac{\partial F}{\partial y_x}{y}_x-F=\frac{y{y}_x^2}{\sqrt{(1+y_x^2)}}-y\sqrt{(1+y_x^2)}=\frac{a_1}{g\rho S}\equiv a=const$

(6)

yra pastovus, nepriklausantis nuo $x$. Iš (6) seka:

$y_x=\pm \sqrt{{\left(\frac{y}{a}\right)}^2-1}$ ir $y(x)=a\cosh \left(\frac{x-c}{a}\right),$

(7)

t. y. pastovaus nario $c$, arba poslinkio tikslumu, GL forma yra hiperbolinis kosinusas $y=a\cosh \frac{x}{a}$.

Statikos dėsniai

Grandininės linijos elementas ir į jį veikiančios jėgos.

Galimas ir kitoks GL formos išvedimas, kuris remiasi statikos dėsniais ir fizinių jėgų savybėmis. Norėdami gauti GL lygtį, y-ašimi laikysime kreivės simetrijos ašį, o atstumą $OA$ nuo GL viršūnės iki x-ašies pasitikslinsime vėliau. Visoje GL pasirenkame jos dalį: atkarpą $AM$ nuo GL viršūnės $A$ iki taško $M(x,y)$. Kadangi grandinė nejuda, lanką $AM$ galima laikyti kietu kūnu, kuris veikiamas trijų jėgų: taške $A$ – grandinės įtempimo jėgos $\overrightarrow{T_0}$, nukreiptos liečiamąja, taške $M$ – grandinės įtempimo jėgos $\overrightarrow{T}$, nukreiptos liečiamąja taške $M$, ir grandinės masės centre – jėgos $\overrightarrow{P}$, kuri lygi grandinės atkarpos $AM$ svoriui. Jei lanko ilgį $AM$ pažymėsime $L$, o jos linijinį tankį $\rho$, tai $P=\left|\overrightarrow{P}\right|=\rho L$ .

Suprojektavę jėgą $\overrightarrow{T}$ x ir y-ašimis, turėsime: $\{\begin{array}{c}{T}_y=T\sin \alpha ,\\ T_x=T\cos \alpha .\end{array}$

Žinodami, kad grandinė yra pusiausvyros padėtyje, pritaikykime jos atkarpai $AM$ I Niutono dėsnį: $\sum _{i=1}^n\overrightarrow{F_i}=\overrightarrow{T_0}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{P}=0$,

iš kurio seka, kad: $\{\begin{array}{c}{T}_y=P,\\ T_x=T_0.\end{array}$

Įstatę projekcijų $T_x,T_y$ ir svorio jėgos $P$ reikšmes, gausime lygčių sistemą: $\{\begin{array}{c}T\sin \alpha =\rho L,\\ T\cos \alpha =T_0.\end{array}$

Padalinę pirmąją lygtį iš antrosios gauname: $\tan \alpha =\frac{\rho L}{T_0}$.

Pakeitę $\tan \alpha \to \frac{\partial y}{\partial x}$ ir žymėdami $\frac{T_0}{\rho }\to \alpha$ , turėsime: $L=\alpha \frac{\partial y}{\partial x}$.

Ši lygtis leidžia apibrėžti GL kaip geometrinę kreivę, kurios lanko ilgis, apskaičiuotas nuo viršūnės iki bet kurio taško, yra proporcingas liestinės kampiniam koeficientui, nubrėžtam lanko pabaigoje. Atkreipsime dėmesį į svarbią GL savybę: parametro $a$ reikšmė tiesiogiai proporcinga GL įtempimui $T_0$ jos viršūnėje.

Diferencijuodami lygtį pagal x, gausime: $\frac{\partial L}{\partial x}=\alpha \frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.

Žinodami, kad $\frac{\partial L}{\partial x}=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$ , gauname GL diferencialinę lygtį : $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{a}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$.

Pažymėkime $\frac{dy}{dx}\equiv \rho$ , tada $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d\rho }{dx}$ , ir vietoj šios lygties gauname $\frac{d\rho }{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$ . Integruodami šią lygtį, turėsime: $\ln (\rho +\sqrt{1+{\rho }^2})=\frac{x}{a}+C$. Bet koordinačių sistema parinkta taip, kad kai $x=0$, tai $\rho =0$, todėl integravimo konstanta $C=0$. Iš to gauname:$\rho +\sqrt{1+{\rho }^2}=e^{\frac{x}{a}}$, iš kur $\rho =\frac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}})$.

Pasinaudoję dydžio $\rho$ žymėjimu ir vėl suintegravę, gausime: $y(x)=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})+C_1$. Pasinaudojame teise priskirti atkarpos $OA$ vertę: tegul $OA=a$; tuo mes įvedame pradinę sąlygą $y(0)=a$, o tai reiškia, kad $C_1=0$.

Taigi, GL lygtį galima užrašyti taip: $y=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})=a\cosh \frac{x}{a}$.

Istorija

Leibnico sprendimas yra kairėje pusėje. Huygenso – iliustracija yra dešinėje. Huntington biblioteka, San Marinas, Kalifornijoja.

Dažnai sakoma , kad Galilejus manė, jog kabančios grandinės kreivė yra parabolinė. Savo darbe „Du nauji mokslai“ (1638) Galilejus sako, kad kabantis laidas apytiksliai yra parabolė, ir jis teisingai pastebi, kad šios aproksimacijos mažesnis iškrypimas gaunamas ir beveik yra tikslus, kai vertikalioji projekcija yra mažesnė nei 45 °. Tai, kad grandinėje linija nėra parabolė, buvo įrodyta Joachimu Jungiusu (1587–1657); šis rezultatas buvo paskelbtas po jo mirties 1669 metais . Grandininės linijos naudojimas arkų statybai yra priskirtas Robertui Hukui, kuris savo darbe „Teisinga matematinė ir mechaninė forma“ Šv Pauliaus katedros atkūrime užsiminė apie grandininę liniją. Kai kurios, daug vyresnės, arkos aproksimuoja grandininę liniją, pavyzdžiui, Taki – Kisroje (angl. Taq Kasra) arka Ktesifone (angl. Ctesiphon) (Irakas). 1671 metais R. Hukas pranešė Karališkajai draugijai, kad jis išsprendė optimalios formos arkos problemą, ir 1675 m. paskelbė šifruotą sprendimą Lotynų Anagrama jo darbo „Helioskopo aprašymas“ priedėlyje, kur jis rašė, kad rado „tikrą matematinę ir mechaninę formą visų arkų statybai“. Jis nepaskelbė šios anagramos sprendimo, tačiau 1705 jo vykdytojas pareiškė: „Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum“, reiškiantį "Kaip kabo lankstus kabelis, taip apverstos stovi arkos. " 1691 metais Leibnicas, Christiaan Huygensas, Johann Bernoulli, atsakydami į Jakobo Bernoulli iššūkį, išvedė lygtį. 1697 metais Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją. 1744 metais Oileris įrodė, kad sukama apie x ašį grandininė linija sudaro minimalaus ploto paviršių (katenoidą). 1796 metais Nicolas Fuss išvedė lygtis, apibūdinančias grandinės pusiausvyrą veikiant bet kokiai jėgai .

Keleti Geležinkelio stoties (Budapeštas, Vengrija). GL Pirsono koreliacijos koeficientas yra lygus $r_1=0,999528$, parabolės atveju $r_2=0,9999$. Parabolės Pirsono koreliacijos koeficientas yra didesnis, reiškia stotis yra parabolės formos.

Trumpa istorinė apžvalga

• Leonardo da Vinci užrašų knygelėje yra kabančių grandinių eskizai.
• Galilejus supainiojo kreivę su parabole.
• Simonas Stevin suformulavo problemas, susijusias su kabančiu lynu.
• René Descartes spėliojo, remdamasis Isaaco Beeckmano laiškais:

" laidas … fiksuotas vinimis … gali apibūdinti dalį kūgio pjūvio "

• Jungas paneigia, kad kreivė yra parabolė (1669).
• Huygensas , Leibnicas ir Jonas Bernulis – visi atsakė į Jacobo Bernulio iššūkį, išspausdintą „Acta Eruditorum“: rasti grandininės linijos kreivės lygtį (1690–1691).
• Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją (1697).
• Huygensas įrodė Mersenne, kad kabanti grandinė nėra parabolė.
• Vėliau, Leonhard Euler parodė, kad sukamoji grandininė linija sukuria minimalų paviršių.

Apverstos grandininės linijos

Grandininių linijų arkos dažnai naudojamos krosnių statyboje. Kartais sakoma , kad Sent Luiso Vartai (Misūris, JAV) yra (apversta) grandininė linija, bet tai netiesa. Ji yra arčiau bendresnės kreivės, vadinamos suplota GL, su lygtimi $y=A\cosh (Bx)$, kuri yra GL, jei $A,B=1$. Grandininė linija yra idealios formos, o Sent Luiso Vartų arka yra siauresnė viršuje.

Grandininių linijų tiltai

Laisvai kabančiose grandinėse veikianti formą jėga priklauso nuo grandinės ilgio. Tą patį galima pasakyti apie laisvai kabančius tiltus, arba „grandininius tiltus“, kur kelias atkartoja kabantį kabelį. Tačiau kabančiame tilte su pakabinamu keliu tilto svorį remia grandinės arba kabeliai, todėl tokie tiltai nėra laisvai pakabinti. Daugeliu atvejų jų važiuojamoji dalis yra plati, todėl kai kabelio svoris palyginus su paramos svoriu yra nedidelis, susijusios su horizontaliu atstumu jėgos yra vienodos, o rezultatas yra parabolė. Kai kabelis yra sunkus, tada atsiranda kreivė, kuri yra tarp grandininės linijos ir parabolės.

Galerija

• 
  Sent Luiso Vartų arka
• 
  Antoni Gaudi Casa Mila, Barselona, Ispanija
• 
  Mikierių tiltas per Šventąją
• 
  Vingio parko tiltas Vilniuje
• 
  Paprastas kabantis tiltas, pastorintas kabelis ir grandininės linijos kreivė

Šaltiniai

12.Šablonas:Cite book

13.Šablonas:Cite book

14.Šablonas:Cite bookWeisstein, Eric W., „Catenary“, MathWorld.