Kompleksinis susijęs skaičius

Geometrinis atvaizdavimas (Argando diagrama) $z$ ir jo susijusio skaičiaus $\bar{z}$ kompleksinėje plokštumoje. Kompleksinis susijęs skaičius yra gaunamas atspindint $z$ per realiųjų skaičių ašį.

Matematikoje kompleksinis susijęs skaičius yra kompleksinis skaičius, kurio realioji dalis yra tokia pati, o įsivaizduojamoji dalis tokio pat dydžio, bet priešingo ženklo. T. y., jei $a$ ir $b$ yra realieji skaičiai, tada kompleksinio skaičiaus $a+bi$ kompleksinis susijęs skaičius yra $a-bi.$ $Z$ kompleksinis susijęs skaičius dažnai yra žymimas $\bar{z}$ arba $z^{*}$.

polinėje koordinačių sistemoje, jei $r$ ir $\phi$ yra realieji skaičiai, tai $r{e}^{i\phi }$ yra kompleksinis susijęs skaičius $r{e}^{-i\phi }.$. Tai galima įrodyti pasinaudojant Oilerio formule.

Kompleksinio skaičiaus ir ko kompleksinio susijusio skaičiaus sandauga yra realusis skaičius: $a^2+b^2$ (arba $r^2$ polinėje koordinačių sistemoje).

Žymėjimas

Kompleksinio skaičiaus $z$ kompleksinis susijęs skaičius yra žymimas $\bar{z}$ arba $z^{*}.$ Pirmasis žymėjimas (vinkulumas) padeda išvengti painiavos su matricos susijusių skaičių transpozicijos žymėjimu, kuris gali būti suprantamas kaip kompleksinio susijusio skaičiaus žymėjimas. Antrasis žymėjimas, kur yra naudojamas dagerio ženklas (†), yra labiau paplitęs fizikoje ir elektrotechnikoje, kur naudoti horizontalios linijos simbolį gali būti painu dėl loginio neigimo ženklo panašumo. Tuo tarpu horizontalios linijos žymėjimas dažniau yra naudojamas grynojoje matematikoje.

Savybės

Šios savybės galioja visiems kompleksiniams skaičiams $z$ ir $w$, nebent nurodyta kitaip, ir jas galima įrodyti išreiškiant $z$ ir $w$ forma $a+bi.$

Kompleksinio susijusio skaičiaus savybės:

   Sudėtis: $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w},$
   Atimtis: $\overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w},$
   Sandauga: $\overline{zw}=\bar{z}\cdot \bar{w},$
   Dalyba: $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}},$ jei $w\ne 0.$

Kompleksinis skaičius yra lygus savo kompleksiniam susijusiam skaičiui, jei jo įsivaizduojamoji dalis lygi nuliui. T. y. realieji skaičiai yra vieninteliai kompleksinio susijusios skaičiaus fiksuoti taškai.

Konjugavimas, t. y. kompleksinio skaičiaus pavertimas kompleksiniu susijusiu skaičiumi, nekeičia kompleksinio skaičiaus modulio: $\left|\bar{z}\right|=|z|.$

Konjugavimas yra involiucija, t. y. kompleksinio susijusio skaičiaus susijęs skaičius yra pats skaičius: $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z.$

Naudojimas kaip kintamasis

Duoto kompleksinio skaičiaus $z=x+yi$ arba $z=r{e}^{i\theta }$ kompleksinis susijęs skaičius leidžia atkurti visas jo dalis:

   Realioji dalis: $x=\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$
   Įsivaizduojamoji dalis: $y=\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
   Modulis: $r=|z|=\sqrt{z\bar{z}}$
   Argumentas: $\theta =\arg z=\frac{\ln z-\ln \bar{z}}{2i}$

Pritaikymas

Kompleksinis susijęs skaičius yra pritaikomas matricoms, kvaternijonams ir kitiems matematikos objektams. Visais atvejais kompleksinis susijęs skaičius yra naudingas matematinėse analizėse, tačiau dažnai reikalauja papildomo apibrėžimo ar žymėjimo specifikoje.