Oilerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė ${𝖾}^{i\varphi }=\cos (\varphi )+i\sin (\varphi )$, čia i – menamasis vienetas, o $\varphi$ - kompleksinio skaičiaus argumentas.

Įdomu pastebėti, kad $|{𝖾}^{i\varphi }|={\cos }^2(\varphi )+{\sin }^2(\varphi )=1$.

Iš formulės išplaukia, kad ${𝖾}^{i\varphi }={𝖾}^{i(\varphi +2\pi )}=\cos (\varphi +2\pi )+i\sin (\varphi +2\pi )$.

Pasiūlė Leonardas Oileris.

Įrodymas

Pasižymime $z=\cos x+i\sin x$, randame šio dydžio diferencialą:

$𝖽z=(-\sin x+i\cos x)𝖽x=(i\cos x+i^2\sin x)𝖽x=iz𝖽x$

Lygtį galime perrašyti taip:

$\frac{𝖽z}{z}=i𝖽x$

Abi puses suintegruojame:

$\int \frac{𝖽z}{z}=i\int 𝖽x$

$\ln z=ix+C$

Konstantos $C$ vertę gauname paėmę $x=0$, tada $z=1$, $C=\ln 1=0$, taigi:

$\ln z=ix$.

Iš čia:

${𝖾}^{ix}=z$

${𝖾}^{ix}=\cos x+i\sin x$

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.